求解黑体辐射反演问题的改进CD共轭梯度法

在物理研究中，黑体辐射反演是一个基本的问题。这个问题是Bojarski在1982年提出的，其曾用Laplace反演法求黑体辐射反问题的数值解，但Laplace变换的数值反演在本质上是不适定的，所以存在一定的局限。一些学者已陆续采用Tikhonov正则化方法进行黑体辐射的数值反演，在提高近似解的数值稳定性方面取得了令人满意的结果。但是正则参数的选取仍带有经验性，在一定程度上限制了其适用性，同时，都未考虑如何提高计算效率。

只有了解不同粗煤泥设备的原理及适用范围，在系统最优化的理念下，通过选择合理的设备与工艺，才能有效解决粗煤泥分选问题，提高选煤厂的生产效益。

考虑黑体辐射模型[1]

 

其中：w(v)为已知的黑体内在频率的辐射能量密度，且w(v)∈L2[V1,V2]；v为频率；x(T)为黑体辐射的温度分布，x(T)∈C(0,∞)；T为绝对温度；c为光速；k为玻尔兹曼常数；h为普朗克常数；T1、T2分别为相对足够小与足够大的正数。记则有

 

若令

高血压多发病于我国的中老年群体，是造成冠心病、脑卒中、心功能不全等疾病的高危因素[1]。心功能是高血压患者常见的一种伴随症，死亡率十分高，处在心脏疾病的终末阶段[2]。目前该病主要治疗方式为药物治疗，药物治疗方式不仅要控制患者机体血压情况，还需降低心率，改善心功能状态，从而降低患者死亡率。本文目的在于观察比索洛尔对治疗老年高血压伴心功能不全患者的效果，现研究如下。

 

则可写成算子方程的形式

Ax(T)=b(v)，

其中A为Fredholm算子。

在实际问题中，b(v)由观测所得，所以不可避免地存在误差，即已知的只是精确解b*(v)的近似bδ(v)。设其满足

‖b*(v)-bδ(v)‖≤δ， δ>0，

需要求解的方程为

Ax(T)=bδ(v)。

(1)

(5) 基于既有经验与研究，通常选取地形地貌、地质构造、工程岩组、水系、降雨、植被覆盖、人类活动7个方面作为评价因子。这样可以高效利用基础数据，且可根据经验较为准确地赋值。但今后还可进一步思考完善，提出更优的评价因子组合以及赋值标准。

 

(2)

其中λ为正则化参数。

共轭梯度法是求解大规模非线性无约束优化问题的最有效方法之一，为此，提出一种改进的CD共轭梯度法求解问题(2)。

要让乡村旅游走上一条良性发展的道路，让人与自然和谐共生共存，给子孙后代留一片青山绿水，需从以下几个方面进行规范引领：

1 算法及全局收敛性

1.1 经典的共轭梯度法

标准共轭梯度法的迭代式为：

xk+1=xk+αkdk；

(3)

 

(4)

其中：为f(x)在点xk的梯度；αk>0为由线搜索确定的搜索步长，常用的线搜索有精确线搜索、Armijo线搜索、Wolfe线搜索等；βk为调控方向的标量参数。不同的共轭梯度法对应的βk计算是不同的，经典的βk有以下几种计算形式[2-3]：

 

 

 

其中||·||为Enclidean范数。

马烁等[4]提出的一种改进的CD共轭梯度法，选择的参数βk为

 

根据文献[3-11]，提出一个修正的βk，

 

(5)

其中μ>1。

1.2 改进的CD共轭梯度法

算法1 1)给出初始点，终止误差ε>0，d0=-g0，k0。

2)若‖g0‖≤ε，则停止迭代，输出x*=x0；否则，转步骤3)。

3)令xk+1=xk+αkdk，由式(4)、(5)计算dk。

4)由Wolfe准则确定步长αk，即αk满足：

在这种情况下，问题(1)的解不能由xδ(T)=A-1bδ(v)得到，所以引入正则项，使问题良态化。将问题(1)等价转换为目标函数的最小化进行求解，

 

(6)

 

(7)

证明 用数学归纳法，当k=0时，假设对k-1的情形，有成立,只需证明也成立，其中θ为gk与gk-1的夹角，

引理1 考虑标准共轭梯度法的迭代式(3)、(4)，步长由Wolfe线搜索准则(6)、(7)产生，当βk按式(5)产生时，对∀k≥0，有成立。

包括聚维酮碘，季铵盐络合碘和三碘氧化合物。聚维酮碘和季铵盐络合碘消毒效果受有机物影响很大，所以均不能作环境消毒，但可作饮水、皮肤和器械消毒。只有三碘氧化合物可作环境和带动物消毒。

5)令kk+1，转步骤2)。

 

 

 

 

 

定理1 若假设1成立，{xk}是由算法1生成的，αk是Wolfe条件下的步长，则

因为要离开，驮子把许多带不走而剩下的家当一样一样分给了大家，这样一来，我们岭北人又是高兴又是舍不得，说，唉，这么好的人离开了。说这样的话时还顺便叹口气，搞得好像驮子是去赴死一样的。

1.3 算法的全局收敛性

目前，已有学者使用基于词向量与深度学习的语义相似度计算模型在英文答案选择系统进行了相关研究[14-15]，并取得了不错的效果，但并未将其泛化到语义相似度计算问题中。相对于英文有天然的空格间隔，中文文本语义相似度计算需要设计复杂的中文分词算法，且中英文之间的语义、语法的差距较大，英文的语义相似度计算方法不能直接应用到中文文本中。在目前的文献中，很少有使用词向量与深度学习结合对中文文本进行语义相似度计算的研究。

假设1 1)Ω={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}是有界水平集；

2)函数f(x)在Ω的某一个邻域D内是连续可微的，且其梯度g(x)是Lipschitz连续的，即存在常数L，使得

2、让农民见识广阔，就要利用互联网、电影、电视等宣传工具让广大农民获取更多信息，开阔视野，增长见识，提升接受新鲜事物的能力和水平。

‖g(x)-g(y)‖≤L‖x-y‖, ∀x,y∈D。

引理2 若假设1成立，任一共轭梯度法的形式xk+1=xk+αkdk，其中方向dk满足满足非精确线搜索Wolfe准则条件，则

质量是大修成败的重要标准，在系统开车过程中，出现了一些质量问题，说明个别施工单位在质量上重视不够，个别人员在监督上把关不严，为此，山西晋煤天源化工提出了“一定要严把质量关，经得起生产考验”的大修要求。

 

特别地，若方向dk满足充分下降条件，则有

为了保证算法的收敛性，对目标函数作基本假设。

 

综上所述，对∀k≥0都有成立。

 

证明 用反证法，假设结论不成立，即∀k都有gk≠0，则存在常数ε>0，使得‖gk‖2>ε, k=1,2,…,

 

 

 

 

 

 

 

 

两边同时除以‖gk‖4得，

 

 

其中，0<m=1/μ2<1。由上式递推得

 

 

所以，

学生也可把流程图用于学习到的化学知识上，从顺序角度去分析各种化学现象的产生、发展、过程、结束以及每步流程的内在逻辑，有利于实现知识内化。此外，教师在课堂上也可使用流程图解析化学现象，明确讲解每一步，能更好地提高学生思维的条理性。

 

因此，

对照组纳入标准：①BCVA≥0.8；②视野正常；③眼压正常；④无青光眼等眼病及家族史；⑤无眼部手术及外伤史。排除标准：①双眼SE＜-6 D或＞+6 D；②屈光介质混浊影响扫描图像的清晰度；③其他眼部疾病或全身系统性疾病病史；④其他视神经、视路及中枢神经系统疾病史。

 

这与引理2矛盾，所以假设不成立，即结论成立。

2 数值实验

黑体辐射模型经过一系列的转化后为一个第一类Fredholm方程来求解。在经典共轭梯度法的基础上提出一个改进的CD共轭梯度法。为了研究本算法的有效性，进行数值实验，并与文献[4]的MCD共轭梯度法进行对比。实验选择一个第一类Fredholm方程作为实验函数，选择的核函数A和真实解xture(T)为：

 

实验中的参数分别设为δ=0.025，σ=0.9。2种算法的数值结果如图1所示，2种算法的运行时间和相对误差如表1所示。从图1和表1可看出，本算法比MCD共轭梯度法求解第一类Fredholm方程的效果好，而且运行时间少，相对误差小，因此，本算法比MCD共轭梯度法更有效、可行。

  

图1 2种算法的数值结果Fig.1 Numerical results of two methods

 

表1 2种算法的运行时间和误差Tab.1 The running time and error of two methods

  

算法运行时间/s相对误差本算法0.000 177 940.143 1MCD算法0.000 203 070.268 5

3 结束语

为了求解黑体辐射反演问题，在传统共轭梯度算法的基础上提出了一种改进的CD共轭梯度算法，并在一定的假设条件下证明了算法的下降性和收敛性。与一种充分下降的CD共轭梯度法的数值结果进行比较，并比较2种算法的运行时间及相对误差，说明这种改进的CD共轭梯度法在求解黑体辐射反演问题更有效。

参考文献:

[1] 肖庭延，于慎根，王彦飞.反问题的数值解法[M].北京：科学出版社，2003:192-195.

[2] 袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京：科学出版社，1997:186-198.

[3] 张雁，单锐，王换鹏，等.一类混合CD-LS共轭梯度法的全局收敛性[J].辽宁工程技术大学学报，2013(3):409-412.

[4] 马烁，王安平.一种充分下降的CD共轭梯度法及其收敛性[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2015,32(1):1-4.

[5] 黄怡，刘美杏.一个全局收敛的改进FR共轭梯度法[J].科技展望，2015,25(34).

[6] ZHANG L,ZHOU W,LI D.Some descent three-term conjugate gradient methods and their global convergence[J].Optimization Methods & Software,2007,22(4):697-711.

[7] 董晓亮，谢星星，侯志军，等.3种推广的DY共轭梯度法及其全局收敛性[J].广西科学，2010,17(4):321-323.

[8] WEI Z,YAO S,LIU L.The convergence properties of some new conjugate gradient methods[J].Applied Mathematics & Computation,2006,183(2):1341-1350.

[9] ZHANG L,ZHOU W,LI D H.A descent modified Polak-Ribière-Polyak conjugate gradient method and its global convergence[J].Ima Journal of Numerical Analysis,2006,26(4):629-640.

[10] 江羡珍，马国栋，简金宝.Wolfe线搜索下一个新的全局收敛共轭梯度法[J].工程数学学报，2011,28(6):779-786.

[11] 王华军，赵汝文，朱志斌，等.求解第一类Fredholm积分方程的修正CD共轭梯度法[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(4):342-344.