有关泛函分析的论文选题意义

泛函分析研究中华人民共和国成立之前，泛函分析在中国还只是个别数学家的科研课题，它作为数学学科的一个二级分支学科而有计划地加以发展起始于50年代中期，中国科学院数学研究所是发展的中心之一。其时，田方增与关肇直合作的《赋范环论》，冯康的《广义函数论》等的发表标志着数学研究所对泛函分析学科开始了有计划的、系统的学术科研活动。《赋范环论》共有四章和两个附录，田方增继续他在法国留学时对群上调和分析的研究写了第四章：群代数，和附录2：局部紧空间上测度——哈尔（Haar）测度，按他的学术观点论述了N．布尔巴基（Bourbaki）的一些概念。1956年田方增随中国泛函分析最早创业者南京大学曾远荣教授同赴莫斯科出席“全苏泛函分析学术会议”回来后，在《数学进展》发表了《记参加1956年全苏泛函分析及其应用会议的经过》一文，系统地评介了当时苏联泛函分析学科在理论上和应用上的科研学术成就，在学术上对中国泛函分析初期的发展起了一定的影响。在田方增和关肇直、冯康的合作下，中国科学院数学研究所于1956年招收了第一批泛函分析学科的研究实习员，随后又大批地接收了高校来的进修人员。他们分别在开设的拓扑向量空间、赋范环、测度与积分、线性算子理论、广义函数理论等等一系列学术讨论班上系统地向青年人讲授当时国际泛函分析学界（主要是苏联、法国、东欧学术界）的学术成就、最新学术进展及问题。田方增还关心数学的认识问题，曾将A．莫斯托夫斯基（Mostowski）的一篇关于数学基础的研究现状的文章译成中文介绍给中国数学界。泛函分析学科在中国科学院数学研究所几乎一开始就是基础理论与应用并重地发展。早期有数值方法的研究。按科学规划的精神，从1958年起数学所泛函分析学科强调其发展要侧重于与方程、物理、高尖科技和国民经济建设之联系。为此，田方增、关肇直常与吴新谋、张宗燧等合作，使数学所内泛函分析的发展始终注意与微分方程及现代数学物理的联系，曾联络在京一些单位的物理学家，先后组织了量子场理论、粒子迁移理论和电磁波理论中数学问题之研究等学术讨论班。60年代初田方增在中国科学技术大学数学系开设过“粒子迁移理论中的数学问题”之专门化课，从此他以主要的精力放在“粒子迁移理论”的数学基础理论之研究上直至70年代中后期。这期间他撰写的学术论文为发展中国在这一领域的数学研究作出了重要贡献。田方增与关肇直一起成功地在中国开辟了应用泛函分析的一个重要领域——粒子迁移理论的数学基础及问题之研究。70年代初开始，田方增在考察了当时国际上，特别是西欧、苏联和美国的学术动向后，结合中国的实际，选择了非线性泛函分析来开拓室里的学术方向。在1978年成都第三届全国数学代表大会的分组会上，田方增作了题为《非线性泛函分析国外近况简述》的报告，阐述和分析了非线性泛函分析的产生、发展及当前国际上主要的科研方向，它在非线性分析中的地位和作用，及在偏微分方程边值问题和数值分析上的应用等。紧接着他又在1979年济南的第二届全国泛函分析学术会议上作了包括“稳定性理论”在内的《关于歧点理论研究情况分析》的学术报告。就在这次济南会议上，中国数学会组织与会代表协商成立了由关肇直、田方增、江泽坚、夏道行4人组成的“全国泛函分析学科领导小组”，下设线性算子理论、空间理论和应用泛函分析、非线性泛函分析3个学术大组。田方增分工负责非线性泛函分析学术大组的工作直到1990年。此期间，田方增在中国科学院研究生院开设非线性泛函分析课，在研究室内指导非线性泛函分析方向的研究生，并组织和领导了6次全国非线性泛函分析学术会议，撰写了《歧点理论》、《非线性算子的类型和性质》、《不动点理论的几个方面》等专题报告。对中国非线性泛函分析的进一步发展起了介评和导向的积极作用。1985年7月，年逾古稀的田方增作为中国知名的泛函分析学科的开拓者之一，应邀去香港出席“东南亚数学联合会区域性分析学会议”，并代表中国出席会议的代表在大会上致词，作了题为《Some Advances in Nonlinear Functional Analysis in Beijing》的学术报告。基本理论的研究第二次世界大战期间，原子武器的问世激发了中子物理和核反应堆物理的蓬勃发展，一类描述中子在核物质中运动规律的积分－微分型中子迁移方程成为国防尖端科研的课题，它是描述分子分布的动力学理论的玻尔兹曼（Boltzmann）方程的一种特殊的线性化形式。在中国自60年代开始，这类方程由定量研究进入基础性的数学定性研究，田方增就是开创此类定性研究的开拓者之一。1960年中国科学院数学研究所与二机部401所协作成立的“125任务”组就是中国第一个定性地研究粒子（中子）迁移方程基础理论的科研小组（田方增是此组的负责人之一）。白手起家难度不小。田方增为迅速掌握和研究美、欧、苏关于研究中子迁移方程的数学思想、理论和方法，在讨论班上向年轻人系统地讲解和分析国际已有学术成果及存在的问题，组织并指导年轻人攻关。田方增于1962—1964年在中国科学技术大学为数学系59届高年级开设了包括辐射迁移和中子迁移在内的“粒子迁移理论中的数学问题”的专门化课。这是中国高校首次开设这样的专门化课程，田方增为此撰写了十多万字的讲义并指导学生们在这一方向上的毕业论文。他于1963－1964年发表的《不变嵌入原则与迁移问题》及《球几何中子迁移方程问题谱的性质和齐次初始问题解的渐近性》是中国最早的两篇关于粒子迁移理论定性的数学研究的学术论文。前一篇是将源于天体物理的不变嵌入原则如何在数学上发展为求解特殊的迁移问题的论述；后一篇将在美欧刚出现不久的关于中子迁移方程结构性理论研究的有限迁移介质的线性算子半群理论法和无限迁移介质的特征线法两大派理论统一到球形迁移介质的研究的论证，这篇学术论文对中国早期关于中子迁移方程定性理论研究的方向产生了较大影响。迁移方程的结构复杂，对一般情况严格求解至今仍是非常困难的问题，加之数值计算之需要，因而从理论和应用两方面来说各种近似求解法从一开始就是讨论问题的重要手段。然而，众多行之有效的近似求解法大多数长期以来没有建立合理性的数学论证。70年代，田方增先后发表了《非齐次迁移方程的时间上离散化解法》和《不稳定态迁移方程的弱解及有限元素法》的学术论文，论证了非齐次方程时间离散化解法的合理性，率先在中国将J．利翁（Lions）的弱解概念加以发展而用于迁移方程，与有限元素法结合讨论非定态方程有限元逼近的可行性问题。今天，中国在迁移理论的数学基础和问题之研究，在纯数学方面已深入到巴拿赫（Banach）空间一类无界的、其豫解算子非紧的非对称线性算子的构造性理论的研究，从应用方面已发展到对符合某种守恒规则，各种量按统计（几率）法来确定的种种动态或定态现象（如粒子迁移现象、生态平衡现象、人口经济问题等等）所形成的积分－微分型基本方程的正、反两方面数学问题之研究。田方增尽管自70年代中后期已将主要精力放在非线性泛函分析之研究上，但仍坚持倾注部分精力于迁移方程。约4万字的《迁移方程问题的泛函－解析法》已早玉成。此文在泛函分析基本理论和方法的框架下，囊括了线性和非线性迁移方程边值问题、边界初值问题的解法及解的性质等的研究。此文长期被他自己扣住未发表，希冀更加完善，使此文能体现中国在这一学术领域的学术成就和学术思想。

泛函分析研究的什么？　　学习泛函，首先要问泛函研究的是什么？可以用下图来解释：　　映射指的是算子和泛函。　　空间:　　X是定义在某数域上的一些对象的集合，若X是线性空间，在X上赋上距离，则就是赋距离线性空间；在X上赋上范数，则就是赋范数线性空间；在X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。　　控制方向的学生可参考教材：《应用泛函分析---自动控制的数学基础》清华大学出版社作者:韩崇昭（西安交通大学）此书可供研究生和博士生阅读。　　编辑本段什么是泛函分析　　泛函分析泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。编辑本段赋范线性空间概况　　从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。希尔伯特空间　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。巴拿赫空间　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。　　对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是所有绝对值的p次方的积分泛函分析收敛的勒贝格可测函数所构成的空间。（参看Lp空间）　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。编辑本段主要结果和定理　　泛函分析的主要定理包括：　　一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。　　谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。　　罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。　　开映射定理和闭图像定理。编辑本段泛函分析与选择公理　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn'sLeema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（AxiomofChoice）弱于布伦素理想定理（Booleanprimeidealtheorem）的一个形式。编辑本段泛函分析的研究现状　　泛函分析目前包括以下分支：　　软分析（softanalysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。　　巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。　　非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。　　与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。编辑本段泛函分析的产生　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。　　本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。　　这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。　　这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。　　研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。编辑本段泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。　　正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。　　泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析的内容　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

泛函科普中国 | 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核审阅专家胡启洲泛函是数学中重要的基本概念，是现代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。中文名泛函外文名functional性质函数的函数内容从函数空间到数域的映射常见泛函线性泛函和二次型泛函快速导航定义 常见泛函 特点 内容 应用产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。二十世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、几何的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。[1]