初等数学的核心是方程吗

数学核心素养的特征数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，也具有数学学科的属性。林崇德认为，核心素养具有六个方面的特征，“核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养；核心素养是知识、能力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养具有发展连续性和阶段性；核心素养兼具个人价值和社会价值；学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性”[7]。依据数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，数学核心素养的主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。我们可以通过一个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养的几个特征。“11-20的数认识”教学片段[8]：“11-20的数认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，是学习十进制计数法的开始。虽然这个内容许多学生在学前阶段就学过，但学生是否真正理解十进制数的表示方法，学生对不同数位上的数表示不同的数值是否清楚，这关系到“数感”和数的抽象等重要的数学思想。在这节课的设计上，教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，怎样用小木棒表示12这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学生的讨论和争论。师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出（11），我们用一捆小棒和一根小棒也能表示出（11），但是问题来了，现在只有2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子了，还能表示11吗？（以下的讨论表现出学生意见不一致，有人认为能，有人认为不能，教师分别请几个代表到前边来讨论，说说自己的想法）生1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示11，只能表示2，它就是2个，不能表示11。也可以表示生2：我摸的时候就像2颗，不像20。生3：有一颗当作十位，另一颗当作个位，就可以表示11了。生4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示1个。生1：2颗一样大的，就不能表示11，要是一颗大、一颗小就可以了。可是这2颗小珠子一样大呀？又不是一颗大一个小。一样大的2颗珠子，要么表示2，要么表示20，不能表示师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？生3：在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位，就能区分了，就可以表示11了。师：其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，数学家为我们制造了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。师：有了“计数器”的帮助，能不能表示出11呢？我们来看一看。师：在黑板上画计数器，然后在个位上放一颗小珠子，表示什么？生：1个一。师：在十位上放1颗小珠子，这可不是1个一啦！生：这是1个十。师：真好，1个十和1个一合起来就是11。上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：用2颗相同的小珠子是否可以表示11。两种观点针锋相对，能表示11和不能表示11，都能说出道理。学生在这个过程中确实认真思考，动脑筋想问题，投入到学习过程中了。最后抓住了理解这个问题的关键“在一颗珠子上写十位，在另一颗珠子上写个位”，这样就可以表示11了。这是学生对数位与不同数位上的数字可以表示不同的值的理解过程。我们从这个教学片段的分析入手，可以分析学生核心素养的一些特征。借助上面的案例，我们来分析学科核心素养的特征。首先是综合性。综合性是指数学核心素养是数学的基础知识、基本能力、基本思想等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。在上面“11-20的数认识”的教学过程中，涉及数的理解、数的意义和数的表示等基础知识，学生需要理解可以用数来表示小棒的个数，不同个数的小棒用不同的数来表示。当需要表示11、12根小棒这样的数量的时候，就产生了不同的表示方法，引起学生思维上的冲突。当老师提出“用同样的两颗珠子能不能表示11”时，出现两种不同的想法，在两种想法的讨论、争论的过程中，学生的思维不断得到启发，逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情境进行整合，形成对这个问题的新的理解与认知。这一过程是综合运用知识技能与设计方法的过程，既对所学知识有深刻的理解，又形成了重要的数学思想。核心素养总是基于基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。在这个过程中，数学基本思想与学习态度等核心素养总是表现为内隐的特质。第二是学科性。数学核心素养总是具有数学的学科属性，这种学科性与数学学科内容的特征和数学思维密切联系。数学的知识技能又蕴含与之密切相关的数学思维品质和关键能力。因此，数学核心素养总是与一个或多个学习内容有关，体现数学学科自身的特征。上面实例中的内容是数的认识，是“数与代数”领域中的核心内容，与之相关的核心素养是数感，或数学抽象。第三是关键性。数学核心素养是学生学习过程中应达成的思维品质和关键能力。数学课程与教学的设计和实施过程，都需要学生在理解掌握知识技能的过程中，运用不同的思想、方法、技能和技巧。并不是数学学习中所有的方法和能力都能成为数学核心素养，数学核心素养是反映数学学科发展的，理解和解决一类数学问题的思想和能力，不是只适用于特定的内容和特定情境的方法。上面实例中，认识数的时候，两个两个数，五个五个数等，都是表示数的方法，在一定的情境中是适用的。而对于数的认识，通用的方法是十进制计数法。学生掌握不同数位上的数字可以表示不同的数值，不只对于理解20以内的数有价值，进一步理解更大的数同样是这样的方法。因此，学习抽象的表示数的方法对于学生来说是学习数的认识的重要思想。第四是阶段性。在数学学习过程中形成核心素养是学生终身受用的，核心素养也是在学习的不同阶段逐渐形成的。数学核心素养的阶段性是指核心素养表现为不同层次水平，不同学段学生的核心素养表现为不同水平。在上面的例子中，学习的内容是数的认识的开始，学生是初步建立数感，初步体验数的抽象性。在这里，数的意义和数的表示仅限于20以内的数。随着学生的年级增高，学习的数也在不断拓展，从20以内的数，到，100以内、万以内的数，进而从整数拓展到小数和分数。数的认识的内容在不断拓展，对数的抽象水平也不断提升。基本的思考方式是相同的，都是从数量抽象为数，但思维的水平在不断加深。不同数位上的数字表示不同的数的道理是一样的，在整数范围是十位、百位、千位、万位，拓展到小数就有十分位、百分位、千分位。学习分数时，数的表示方式有所不同，虽然数的表示方式已经不是十进制，不同的分数单位表示的分数大小不同，但数的表示的道理一样。数的抽象思维的方式方面，不同阶段有不同的抽象水平，反映了学生抽象思维的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。第五是持久性。持久性是指数学核心素养是关注学生终身受益的思维品质与关键能力，不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还将伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和面向社会。在上面的实例中，数感与数的抽象是学生在小学阶段认识数所需要的能力，同样在中学乃至大学也需要这样的能力。学习数学需要抽象能力，学习其他学科也同样需要抽象思维。数学学习以外的学习，以及生活与工作中遇到的现实问题，也需要抽象思维。学会抽象的思维方式，将会伴随学生的终身。这体现了这一核心素养的持久性。

初等数学主要运用于解决问题，而高等数学主要是探索数学世界的尽头，相较于初等数学，高等数学的逻辑思维就显得更加重要。

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