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lin2000west
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小百合2011

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无理函数最值问题求解举例武延霞摘要:无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难,本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法,如换元法,微分法,几何法,复数法,向量法等等。关键词:无理函数最值 复数法 向量法 数学中的函数最值问题求解是常见的,在日常生产生活、科研中都会遇到。解决方法也是很多,如图象法,均值不等式法,换元法,向量法等等,到大学的课程中我们常用的是求导法,这些方法在实际运用中灵活多变。而无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难,本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法。1 换元法: 根据函数表达式的特点,将某一部分看作一个整体用一个新的变元来代替,以达到简化表达式、变为熟悉且易于求解的形式。例1:求 的最小值。解:函数的定义域为 ,令 ,则 , 当 即 时, 取最小值 。2 微分法:若 在区间 上可导, 是 的唯一稳定点,并且 是 的极值点,则当 是极大(小)值点时, 就是 在 上的最大(小)值。例2:求 的最小值 。解: 在 上可导,所以 令 得稳定点 (舍负)。又 时, , 时, 的最小值为 3 几何法:运用数形结合的思想将最值问题转化成几何图形的性质问题,通过几何的有关知识求解。例3: 、 两地合用一个变压器,若两地用同型号线架设输电线,问变压器设在输电干线上何处时,所需输电线最短。解:设 长为 , ,由题意可知求出 的最小值即可。又 建立直角坐标系,如图所示:则 , , ,原问题就转化为求 轴上一点 到 两点距离和的最小值问题。由几何知识,点 在线段 上时 取最小值( 为 关于 轴的对称点)。此时 , 将变压器建在 之间离 处所需输电线最短。4 复数法:求形如 的最小值,令复数 满足 , 且 或 为常数,利用不等式 来求解。例4:求函数 的最小值。解:令 , 则 ,由不等式 可得 在这里能否取到呢?我们来验证一下:若 ,则 与 在同一条直线上且方向相反, 而由上式可推得 ,矛盾。 不是 的最小值。由此我们知道 不能任意取,究竟怎么样取值才能使不等式 中等号成立? 若想利用不等式中号,即 ,取 ,由 为一常数, 的实部需取 ,设 的虚部为 , 反向,则 , 此时 ,其中不等号可以取到, 同理,若想利用不等式中 号,即 ,取 , , ,同样解出 总结上述过程,我们可以用“用加取等号取反,用减取等号相同”来概括 和 的取法,即如果利用 ,我们取 与 中 的符号相反;如果利用 ,我们取 与 中 的符号相同。5 向量法:构造函数 使 为常数。令 , ,则 ( 为 的夹角)根据 的取值范围可以求得函数的最值。例6:求函数 的值域。解: 的定义域为 ,令 , ,则 , , ( 为 的夹角) 时 , , 与 的终点如图1所示 由图1可知 与 同向时, 与 的夹角最小,此时 当 时, 与 的夹角最大,此时 所以值域为 。 注:求 的最值,利用 ,需要 为一常数,若不是常数,可以进行适当的系数配凑使其为一常数。例2:求函数 的值域。解:由题意可知定义域为 ,令 , 则 , ,由 得: , 与 的终点如图2所示当 与 同向时, 与 的夹角最小,此时 当 时, 与 的夹角最大,此时 所以值域为 结束语:本文讨论了常见的几种无理函数的一些解法,还有许多无理函数以及它们的解法没有讨论到,有待进一步研究。参考文献:[1]李宇祎.函数最值问题的处理方法[J].雁北师范学院学报,2004,01:52-53页.[2]潘玉晓.关于函数最值问题的探讨[J].南阳师范学院学报,2004年第4卷第9期.[3]武增明.用 解两类无理函数最值问题[J].数学教学杂志社,2006,11:31页.[4]孙家永.函数最值之正规求法及舍弃原理[J].高等数学研究 2006年第5期: 47页.[5]张怀德.极值点与最值点、稳定点及拐点的关系[J].甘肃高师学报 2005年第十卷第五期.[6]刘安.关于连续函数最大最小值的唯一性准则[J].衡阳师范学院 2005年3月.[7]华东师范大学数学系.数学分析第二版[M].北京:高等教育出版社, 1991年3月第2版: 192页.[8]华东师范大学数学系.数学分析第三版[M].北京:高等教育出版社,145页.[9]杨宝珊.闭区间上连续函数最值点的讨论[J].内蒙古教育学院学报.1997年12月第4期.[10]陈祥平.闭区间上连续函数最值[J] .昌潍师专学报 2000年第19卷第2期.
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小韵子39

如果是化学教育方面的 主要有以下几种 1 化学教育 北京师范大学大学《化学教育》杂志社 2 化学教学 华东师范大学《化学教学》杂志社 3 中学化学教学参考 陕西师范大学《中学教学参考》杂志社 4 中学化学 哈尔滨师范大学《中学化学》杂志社 5 化学教与学 南京师范大学《化学教与学》杂志社 6 高中生数理化7考试 光明日报杂志社8中学理科 广西师范大学9数理化学习 哈尔滨师范大学 《中学化学》

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ChenYeZhang

等数学类杂志 分析理论与应用(英) 高校应用数学学报(中) 高校应用数学学报(英) 应用数学学报(英) 工程数学学报(5期) 生物数学学报 应用泛函分析学报 高等学校计算数学学报(英) 数学译林 数学学报(英) 中国科学基金(英) 数学年刊(英) 大学数学(原工科数学) 代数集刊(英) 南京大学数学半年刊 偏微分方程(英) 微分方程年刊(英) 纯粹数学与应用数学 数学研究 中国科学(A辑) 中国科学A辑(英) 中国大学教学 数学学报 数学进展 系统科学与数学 数学的实践与认识 应用数学学报 数理统计与管理 中国数学文摘 数学年刊中文版 应用概率统计 数学研究与评论 东北数学(英) 数学季刊(英)(河南) 应用数学(湖北) 数学杂志(湖北) 数学物理学报(中) 数学物理学报(英) 模糊系统与数学(湖南) 数学理论与应用(湖南) 应用数学和力学 系统科学与复杂性学报 高等数学研究(陕西) 运筹与管理 中国科学基金 自然科学进展 自然科学进展(英) 统计与精算(人大) 计算数学 高等学校计算数学学报 运筹学学报 计算机科学类 数值计算与计算机应用 计算机科学与技术学报(英) 计算机研究与发展 计算机学报 电子与电脑 网络与信息 计算机工程* 计算机工程与应用* 计算机工程与科学* 计算机应用与软件 软件学报 微型机与应用 计算机辅助设计与图形学 电脑编程技巧与维护 计算机仿真 微型电脑应用 小型微型计算机系统 电脑学习 电脑开发与应用 模式识别与人工智能 数据采集与处理 计算机时代 计算机系统应用 现代计算机 微电子学与计算机 微机发展 计算机应用 信息技术教育 微型计算机 计算机应用文摘 计算机科学 计算机应用研究 电子技术应用 网络安全技术与应用 信息技术 计算机教育 单片机与嵌入式系统应用 信息安全与保密(2006始) 实验室研究与探索 初等数学类杂志 数学通报 中学生数学(下) 中学生数学(上) 数学教学 上海中学数学 中等数学 理科考试研究 中学生理科应试(高中) 中学数学杂志。高(曲阜) 中学数学杂志。初(曲阜) 中学数学月刊(苏州) 中学教研(数学)(浙江) 教学月刊(中学理科) 福建中学数学 中学生数理化(高中) 中学生数理化(初中) 数学通讯(湖北) 中学数学研究(江西) 中学数学研究(广东) 中学理科(下) 中学理科(中) 中学理科(上) 中学数学教学参考(陕西) 数学教学研究(甘肃) 数学教学通讯(重庆) 中学数学教学(安徽) 中学数学(湖北) 数学教育学报(天津) 中学数学教与学(人大) 课程教材教法 中小学教材教学 数理天地(初中) 数理天地(高中) 教育研究 学科教育 高中数学教与学(扬州) 中国电化教育 教育发展研究(上海) 高校学报类杂志 北京大学学报(自然版) 首都师范大学学报 北京师范大学学报 复旦大学学报(自然版) 上海师范大学学报 华东师范大学学报 辽宁师范大学学报 吉林大学学报(自然版) 哈尔滨师范大学学报 河北师范大学学报 中国科学技术大学学报 南京大学学报(自然版) 苏州大学学报(自然版) 福建师范大学学报 河南师范大学学报 武汉大学学报(自然版) 华中师范大学学报 湖南师范大学学报 江西师范大学学报 中山大学学报(自然版) 广西师范大学学报 陕西师范大学学报 兰州大学学报(自然版) 西北师范大学学报 四川大学学报(自然版) 云南师范大学学报 贵州师范大学学报 西南师范大学学报 浙江大学学报(理工版) 南开大学学报(自然版) 清华大学学报(自然版) 湖南大学学报(自然版) 厦门大学学报(自然版) 东南大学学报(自然版) 上海交通大学学报(自然版) 东北师范大学学报(自然版) 扬州大学学报(自然版) 山东大学学报(理学版) 西安电子科技大学学报(自然版) 山西大学学报(自然版) 中南大学学报(自然版) 华中科技大学学报(自然版) 北京邮电大学学报(自然版) 北京航空航天大学学报(自然版)

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