小波降噪法在经济时间序列分析中的应用

小波分析理论是近代发展起来的一门新兴数学学科，作为一门新兴学科，由于它包含了丰富的数学内容并具备广泛适用的特性，有关小波与多小波理论的研究吸引了人们的广泛关注［1-4］。小波分析作为分析工具和方法在信号去噪、图像压缩、地震探测、医疗图像等方面得到了广泛的应用［5-8］。近几年来也有相关学者把小波分析引入到经济和金融领域，利用小波分析方法对经济金融现象进行研究［9-11］，但相对于小波分析在其他领域的应用，在经济金融领域的应用显然过少，因此从深度和广度上拓展小波分析在经济金融领域的研究具有一定的研究价值。

将经济现象反应在数量关系上的数据按时间顺序排列起来，就构成了一个所谓的经济时间序列。经济时间序列与一般的信号具有相同的特性，因此也可以把它看成信号来处理。但在经济运行中，有很多经济变量和经济指标随着时间在变化，在这些变化中，既有周期性的因素，也有偶然因素导致的随机扰动（在信号处理中称为噪声），这些噪声的存在将导致在后续对经济数据的分析处理中产生严重干扰，甚至影响数据处理的结果，因此对经济信号研究之前必须对其存在的噪声进行处理。

传统的经济时间序列降噪方法主要有Fourier变换滤波法、移动平均去噪法。

Fourier变换滤波法是将经济时间序列信号完全在频率中进行分析，把低频信号看作是有用信号，而高频信号则视为噪声去除，从而达到降噪的目的。它的缺点是不能给出信号在某个时间点上的变化情况，使得信号在时间域上的任何一个突变，都会影响信号的整个谱图，而且它还要求有用信号与噪声的频谱要相互分开。但对于经济时间序列信号而言，有些情况下时间序列波动性比较大，频谱相对较宽，有用信号与噪声重叠比较大，从而导致利用Fourier变换滤波法去除该类信号噪声的效果不理想，甚至无能为力。

移动平均去噪法是将经济时间序列中提取的数据从第一项开始，逐项移动，重叠求出每移动一次的时序平均数，从而构成新的时间序列。在新的时间序列中短期的偶然因素引起的变动被降低，从而达到降噪的目的。作为一种简单的数据平滑技术，该方法的缺点是在降噪的同时会把许多有用的信息也覆盖掉，因此处理后的信号与原信号失真程度较高。

专门用途英语(English for Specific Purposes,ESP)与翻译专业硕士(Master of Translators and Inter-preters,MTI)课程在学科分支上似乎没有干系,但是,只要看一看两者的学术背景、属性、内容、对象和目的,就会清楚地知道,MTI与ESP同宗同源。ESP因世界科技进步、国际交流需要而生,MTI因国内经济发展和国际合作需要而设,两者都强调实践性、应用性和专业性。ESP向语言教学靠拢,成为语言教学的一个分支;MTI与翻译学嫁接,“培养目标定位十分清楚,就是社会实际需要的翻译专门人才”[1]。二者的比较见下页表1。

小波分析理论将经济时间序列由单纯的相域分析扩展到了相域与频域相结合的频域-相域分析，深化了经济时间序列的频率特征。由于小波分析是一种基于多尺度滑动窗的分析方法，十分适合突变信号和非平稳信号，而且小波分析理论虽深，但算法简单，而这恰恰符合经济时间序列分析的要求。因此，本文将利用小波去噪法对经济时间序列信号进行预处理。

罗茨真空泵在开机运行时，会发出刺耳噪声，影响周围的工作环境.噪声按频率可分为：低频噪声（＜400 Hz）、中频噪声（400～1 000 Hz）以及高频噪声（＞1 000 Hz）[8].常见消声器原理及特性如表3所示.

1 小波降噪法在经济时间序列中的应用研究

由于小波分析的多分辨分析特点，小波分析可以同时在时域和频域两个方面反映同一个时间序列的变化，因此又被称为时频分析。它在低频细节部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频逼近部分又具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，使我们能够根据实际需要在时间和频率精度之间进行适当的取舍，从而克服单纯时域或频域分析方法的缺陷。

输入输出引脚连接示意图如图4所示。这里采用将两个独立8位状态序列发生器SEQ1和SEQ2级联成16状态序列发生器SEQ,将ADCLO连接模拟地AGND，这样连接后输入参考电压ADCLO=OV，在计算最后转化结果时也不影响数据的准确性，同时防止信号零点漂移现象。

利用小波分析理论对经济时间序列信号进行降噪的主要思路是：选取恰当的小波函数和分层层数，利用小波变换把含噪声的经济信号分解到各层中去，得到一组小波系数，由于有用信号一般分布在低频区域，而噪声则主要分布在高频区域，设定恰当的阈值，把每一层中属于高频的噪声部分的小波系数进行阈值处理，而低频的属于有用信号的小波系数则直接保留下来，得到一组近似小波系数，然后通过小波逆变换对处理过的小波系数进行重构，得到原信号的近似信号，从而达到降噪的目的。

正交小波函数：若函数 ψ（t）∈ L2（R）满足

1.1 小波函数的确定

与Fourier变换不同，小波变换中的小波基函数不是唯一的，只要满足小波容许性条件的函数均可作为小波函数，因此在处理经济时间序列信号去噪问题时，选择的小波函数是否恰当对经济时间序列的处理效果有着直接的影响，决定着信号处理的效率性和有用性。故如何选择小波函数是非常关键的一步。下面就常用小波的一些重要性质进行介绍，然后说明在经济时间序列中该如何灵活选择小波函数。

哦，东方人！希望你能再次登上“非洲之傲”！你一定会看到我，看到我美丽的衣服！珊德拉夫人独自举起酒杯，一饮而尽。

 

若当t＜ 0或t＞ N时ψ（t）＝0，且［0，N］是上式成立的最小闭区间，则称函数 ψ（t）有支撑 ［0，N］，即ψ（t）为紧支撑小波函数。紧支撑小波由于只在有限区间非零且不需作人为截断，因此其局部分辨能力好，降噪更精细。对于经济时间序列中有些短时间内产生突变的信号，利用紧支撑小波函数处理可以得到更加准确的信息。常见的紧支撑小波函数主要有Daubechies N小波（简记为dbN）、Haar小波、Coiflets小波（coifN）和Symlets N（symN）小波。

在小波降噪方法中，如何选择小波函数、分解层数及阈值将直接影响小波去噪的效果。

 

则称ψ（t）为正交函数。正交小波函数一方面可以快速离散小波变换的条件；另一方面消除冗余，保持小波系数中的不相关性，提高小波去噪效果。由于小波降噪法是将经济时间序列信号在多个层次分解，因此此特性是必须首要考虑的因素。常见的正交小波函数主要有Meyer小波、Daubechies小波、Haar小波、Coiflets小波和Symlets小波。

N阶消失矩的小波函数：若小波函数ψ（t）∈L2（R）满足

 

则称小波函数ψ（t）具有N阶消失矩。从上式还知，ψ（t）与任意N-1阶多项式正交，在频域内就是表示在ω＝0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。具有消失矩的小波反应信号奇异性的能力强。但在实际处理经济时间序列时由于消失矩越大，在对小波系数进行阈值处理时需要将更多的小波系数置为零，因此太高的消失矩将导致经济信号重构失真度增大。比如在处理经济学中的收益率这样的时间序列信号时，消失矩就不能太高，否则就会丢失很多有价值的信息。常见的Daubechies N小波具有N阶消失矩、Haar小波具有1阶消失矩、Coiflets N小波具有2N阶消失矩、Symlets-N小波具有N阶消失矩。

对称（反对称）小波函数：若函数ψ（t）∈ L2（R）满足

 

则称ψ（t）为对称（反对称）小波函数。由于对称小波系数在经过小波变换后偏差较小，不容易失真，有利于消噪后信号的恢复与重构，但该特性相对于其他特性来说对消噪的效果影响不大。

小编，我有个问题，我是一名六年级学生，我最近犯了一个很严重的错误，我偷偷用压岁钱打赏了某平台的一个主播，虽然数额不大，但如果被父母知道，肯定会特别严厉，我已经知道错了，请问我如何补救？

1.2 分解层数的确定

给定一个含噪声的经济时间序列信号：

 

通过以上方法确定阈值以后，还需要对阈值进行量化，所谓的量化是根据所选择的阈值将高频的小波系数进行处理，而常见的处理方法主要有硬阈值法和软阈值法［13］。

由于特定的信号总是具有有限的分辨率，因此设s（t）∈Vj，根据Mallat多分辨分析理论，将含噪信号s（t）通过Mallat算法分解得到其尺度系数cj（近似系数）和小波系数dj（细节系数），然后对cj分解得到下一尺度尺度系数和小波系数，依次下去，分解示意图如图1。

  

图1 Mallat算法分解示意图

理论上讲，利用Mallat算法对信号分解时，最大可选取的分解层数为M＝log2N，M越大则噪声和真实信号表现的不同特性越明显，有利于噪声的分离，但是对于重构来说，分解的层数越多，则失真越大即误差越大，故在实际的应用中，分解层数不宜过大，一般取M为3～5层即可。

1.3 阈值的确定及量化方法

在利用小波去噪法对经济时间序列信号进行处理的过程中，阈值的确定和量化直接影响到信号去噪的质量，阈值选择过大则易出现将有用信号过滤掉的问题，选择过小又会保留噪声，去噪效果不好。因此如何选取阈值及对其进行量化是去噪过程中的关键所在。

阈值μ的确定通常有以下几种方法：

听了妈妈的话，我憧憬着成功的瞬间，决定找回坚持，不能半途而废。以后的一段时间，我刻苦训练，在舞蹈班里练，回到家里也常常练习。功夫不负有心人，我终于被选去参加演出了。舞台上的灯光是那么灿烂，无数双欣赏的眼睛望着我，我觉得，我是最成功的人。

（1）通用阈值法［12］：阈值 μ 由下式给定：

 

其中σ表示随机噪声标准差，N为小波系数的长度。

通过式(2)，可以计算出加载油压与质量之间的关系，m1=6.28p0,加载油压与质量关系对照见表2所列。

（2）无偏似然估计法：是一种以Stein无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于所给定阈值，求得它的似然估计，再将似然估计最小化即得所需阈值μ。

（3）启发式阈值法：是前两者阈值法的综合。当所给信号信噪比较大时选择无偏似然估计法，当信噪比较小时选取通用阈值法，这是一种最优预测变量阈值的选择。

长期以来，农村水利工作重工程建设、轻管理，工程运行管护、水价形成机制不健全，适合农田水利工程特点的产权制度和建设管理模式仍处于探索阶段，农业水权尚未明晰，灌溉用水总量控制、定额管理尚未全面推行，超定额累进加价制度尚需进一步推进，农业用水精准补贴和节水激励机制尚不完善，水价杠杆对节水有效机制尚未有效建立，农业节水缺少有效的驱动力。

（4）极值阈值法：采用极值原理选择阈值，它产生一个最小均方误差的极值，用于设计估计器。因为被去噪的经济时间序列信号可以看作与未知回归函数的估计器相似，故这种极值估计器可实现均方误差最小化。

云会计最大的特点就是企业买到的并非是云会计软件的所属权，而是使用权。过去的情况是企业所买到的会计软件将作为自己的一项产品，而云会计则是将信息通过网络导入给企业。

目前在对经济时间序列的处理中对于小波函数的选择还没有统一的规定。一般情况下，通过对常用小波性能参数进行分析并结合经济时间序列信号不平稳、数据起伏波动性较大的特点可知，在利用小波降噪法处理经济时间序列时，选取小波函数dbN，symN和coifN等小波函数相对比较合适。此外，在对实际经济时间序列信号处理的过程中，选取的小波函数波形与经济时间序列信号的性状越是相近则就越能精确地提取该信号的特征，因此可根据经济时间序列特点选择相应的小波函数，比如房价、期货等比较平缓的经济时间序列可选择消失矩稍高一点的小波函数，N可选择4到6阶，而像收益率这样的时间序列，则因其奇异点密度较大，这时选择的消失矩阶数N以不超过3为宜。

其中：s（t）表示含噪信号，f（t）表示真实信号，e（t）为噪声，λ为噪声强度。小波去噪的目的就是抑制e（t） 以恢复 f（t） 。

很多的经济时间序列常常表现出非平稳性和非线性性，且数据波动起伏较大，作为信号存在较多的奇异点，而且存在频繁的小幅波动，有很强的随机性，因此，在对此类时间序列处理之前，应先对噪声进行处理。小波分析具有多分辨分析特点，可以同时在时域和频域两个方面反映同一个时间序列的变化，因此又被称为时频分析。它在低频细节部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频逼近部分又具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，因此利用小波分析对经济时间序列信号进行处理更有优势。本文主要介绍小波去噪法在经济时间序列中的应用，利用小波去噪方法对期货市场的某商品成交价格进行去噪处理，得到了较为光滑的价格走势，去噪后的信号对于后续的研究可以提供更为精准的信息。

 

软阈值法：它的原理是将较小的小波系数dj置为零，而较大的小波系数dj则向零进行收缩，即

紧支撑小波函数：设函数ψ（t）∈L2（R）满足：

 

一般来说，硬阈值法可以较好地保留真实信号的尖峰特征，但在某些点上会造成间断，而软阈值法则是在硬阈值法的基础上将边界出现的间断点收敛到零，可有效避免间断，从而使得重构的信号比较平滑，但会造成边缘模糊等失真现象。因此在对经济时间序列处理的过程中需灵活应用，按所需要求特点进行选取。

2 实例研究

本文采用大连商品交易所某期货商品2015年12月1日至2017年9月1日成交价格的450个数据进行分析，得到含噪的序列信号如图2。

  

图2 大连交易所某期货商品成交价格走势图

从图2可以看出，该期货商品的成交价格波动性较大，为了能够准确地提取出该商品价格变化趋势的特征成分，需要对该经济时间序列信号进行去噪处理，考虑到其数据严重不平稳，奇异点密度较大，故消失矩不能太高，在文章前部分总结的小波函数及分层层数的选取原则的基础上本文选择了Daubechies-4小波，分解层数选择4层，利用Daubechies-4小波把该商品价格走势信号进行4层mallat分解，得到尺度系数和各层小波系数示意图如图3至图7所示。

  

图3 分解得到的尺度系数c4示意图

  

图4 分解得到的小波系数d4示意图

  

图5 分解得到的小波系数d3示意图

  

图6 分解得到的小波系数d2示意图

  

图7 分解得到的小波系数d1示意图

然后利用通用阈值法确定阈值μ＝σ，并用软阈值对μ进行量化，最后对处理过的低频及高频数据进行重构，得到去噪后的成交价格走势如图8。

  

图8 去噪后的大连交易所某期货商品成交价格走势图

通过观察图8可知，小波去噪方法可以有效地消除经济时间序列中的噪声，经过处理后的经济时间序列信号大部分小幅波动已经被去除，并能充分保留原信号的主要特征，信号趋于平稳，为进一步对后续成交价格走势的预测创造条件。

内容包括：（1）数学概述：数学史，数学美，数学名著，数学家，世界数学大奖和数学家大会；（2）数学问题：海岸线的长度问题到数学上的分形几何，哥尼斯堡七桥问题到数学上一笔画问题，斐波那契数列和黄金分割，阿基里斯永远也追不上乌龟的有限与无限问题等；（3）数学典故：历史上的3次数学危机，希尔伯特的23个数学问题，韩信点兵与中国剩余定理，田忌赛马与运筹学，悖论等；（4）数学应用：数学与文学的关系，数学与绘画的关系，数学与体育的关系，数学与生物学的关系，数学与经济学的关系等。

3 小结

硬阈值法：它的原理是保留大于所给阈值μ的小波系数dj，把小于阈值μ的小波系数dj均置为零，即

参考文献：

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困境儿童概念体系的建构是一个过程。在此处，笔者根据目前已经提出的各方面的概念，建议如下体系（见图1）。

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采油污水在MVC/MVR设备中，首先蒸发成为低压的水蒸气，随后经过再压缩后成为高压的水蒸气，而该高压水蒸气在蒸发器中与污水换热凝结，并使得污水蒸发成低压水蒸气。因此在已建MVC/MVR进行污水处理的油田联合站内，可以考虑利用AHT辅助其进行污水处理。如图6所示，与采油污水处理方案类似，利用AHT处理一部分采油污水产生水蒸气，但水蒸气不是直接冷凝而是将这部分水蒸气引入MVC/MVR与前述低压水蒸气混合后一同被压缩。该方案与采油污水处理方案相比减少了对水蒸气的冷却系统，但需要对已建MVC/MVR系统进行调试以适应与AHT结合后的新工况。

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老三的话说得孔老一没了主意，刚经过一场恶战，五连死伤剩下不到三、四十号人，自己因为有狙击专长，加上又是师部下来的，底柱把自己当了宝贝，没让自己露过一回头，从感情上，自己欠着底柱和五连的情份自己欠着底柱和五连的情分，特别是这当儿，鬼子说什么时候打过来就什么时候打过来，如果这个时候提出回去奔丧，别说底柱作不了主，怕是自己也说服不了自己。

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