一类常微分方程组解的适定性

1 简介

考虑如下常微分系统

 

这里∇表示对x＝（x1，x2）∈R2求梯度，问题的启发源自参考文献［1-2］。Ginzburg-Landau方程是用以描述超导现象的模型方程，对这个ODE系统解的适定性研究有助于理解Ginzburg-Landau方程动力学问题，是非常有意义的。

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2 主要结果

定理1 若常微分方程组（∗）满足

（1）Ω是R2的有界光滑开邻域，E是f的定义域，满足f∈C1(E)，f＇(x)＞ 0（x∈ E），a∈C2（Ω），

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例2 同上例，取f( x)＝-x2，则常微分方程组可化为

则有如下结论：

（A） 方程组存在唯一的解 ：［0，+∞ ） → Ωm ；进一步， yj（t） ≠ yi（t） （i≠ j） 且yj(t)∈ Gj，t∈［0， +∞）；

式(7)中：为了保证所有的加权值总和为1，在计算Pj,k-1>δ时的权重时，将Pj,k-1=δ的概率值剔除，c为Pj,k-1=δ时，与模型对应的编号。

（B）若a( x)在Ω内任一零点的邻域是解析的，即若∇a( b)＝0，∃δ，满足a( x)在B（b，δ）是解析的，则对

1.明晰EPC管理内核。EPC模式从总价控制、工期保证、质量使用功能等方面满足业主的需求，是一种高度集成化的建设管理模式，核心是提升服务水平，灵魂是创新，实现手段是总体协调管理。建筑企业，尤其是企业负责人，需转变理念，了解EPC模式的实质，以此决策企业宏观发展方向。

证明 （A）首先，依据条件（1）和（2）以及 ∇f○a（yj（t）） 对 ∀j＝ 1，2，…，m 是连续的，由解的存在唯一性定理［3］，在某个［0，T）区间上存在唯一的解 yj（t） 。 不妨设最大可行解区间为［0，T∗），有进而有 f○a( yj(t))≤f○a( bj) ，又 ∵ f＇（x） ＞ 0，x ∈ E ，有

 

由于 minx∈∂Gja( x) ＞ a( bj)，且 a( yj(t)) 连续，由 Jordan 定理［4］，有 yj(t)∈Gj，Gj⊂⊂Ω，利用解的延拓定理［3］，有T＝+∞，由Cauchy问题解的唯一性定理，得到结论（A）。

（B）由上面的工作，可以得到又yj(t)∈Gj，t＞0，Ω有界，所以yj(t)≤CΩ，CΩ是只与Ω有关的常数。为简便起见，不妨记y( t)＝yj(t)，由致密性定理，取一递增点列 tn→+ ∞，有

 

所以 f○a（y（tn）） ≤ f○a（y（t）） ，令 tn→+ ∞，有 f○a（y（b）） ≤ f○a（y（t）） ，又 f是严格单调，所以 f○a（y（t））由 y（t） 满足方程组，得

 

故∇a( b)＝0，a在b的某个邻域解析，进而f○a( x)在点b解析。

所以当T≥tN时，

 

解可以连续延拓到［0，+∞）。当t→+∞时发现对应的解有交点当且仅当它们重合，所以函数f的单调性是定理成立的充分非必要条件。

 

若（1）Ω是R2的有界光滑开邻域，E 是 f的定义域，且满足 f∈ C1(E)，f＇(x) ＞ 0（x∈ E），a∈ C2

 

对，有

但是

 

[2]Schmitt,N&Meara,P.(1997).Researching Vocabulary through a word knowledge framework:Word associations and verbal suffixes.Studies in Second Language Acquisition,19,17-36.

 

这与矛盾，所以即

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又因为f∈C1(E)，由参考文献［5］，∃0 ＜ θ0＜ dist( b，∂Ω)，0 ＜ θ＜ 2-1，满足

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3 定理应用

对于一类常微分方程动力系统，借助定理1，可以在不求解的情况下得到解的性质。比如取，显然函数 a满足定理条件，令 f1(x)＝ x2m-1（m ∈N+），f2(x)＝ex，对如下两个常微分方程自治动力系统：

 

显然，上述两个常微分方程组都很难得到精确解，但是借助定理1，有解的解析性，吸引子存在性。

4 单调性条件探讨

注意到定理的证明关键部分，解的延拓依赖于函数f的单调性，考虑如果函数不满足单调性条件，解是否能延拓？bj1≠bj2时对应的解是否有交点？解是否仍然存在吸引子？问题转化为：

记下证 否 则 由 连续性，有有

（2） ∇f○a（yj（t）） 对 yj（t） 满足局部 Lipschitz 条件。 即对 ∀j，∃Lipschitz 邻域 Gj满足 bj∈ Gj⊂⊂Ω，j＝ 1，2，…，m 。

常微分方程组（∗）是否有结论A，B？给出如下例子：

例1 令a( yj)＝yj1+yj2，yj＝ (y j1，yj2) ，yj∈ Ω，取 f( x)＝ x2（x∈ E ），则（∗）可化为：

 

容易看出yj1(t)，yj2（t）只相差一个常数，设为αj，假设yj2(t)＝yj1(t)+αj，解出常微分方程组满足初值条件的解为

 

对 ，n≥ N，有

文中，我们主要介绍比特币系统中涉及的相关密码技术，包含签名、哈希函数以及区块链技术。尤其是区块链技术，以链状结构存储数据，以密码技术为数据传输提供机密性和认证性服务，从而形成一条分布式存储、无法篡改、永无止息的数据库。但比特币等诸多数字货币在一定程度上具有匿名性，使得监管问题日益严峻，如何在保护实体隐私的同时实施有效的监管是数字货币领域的一大挑战。另一方面，由于区块链技术能摆脱第三方机构制约，使得它不再局限于数字货币领域。目前，区块链技术在金融服务、公共服务和IoT等领域的应用尚处于探索阶段，有待进一步发掘。

（2）∇f○a（yj（t）） 对 yj（t） 满足局部 Lipschitz条件。 即对 ∀j，∃Lipschitz邻域 Gj满足 bj∈ Gj⊂⊂Ω，且minx∈∂Gja( x) ＞ a( bj) ， j＝ 1，2，…，m 。

 

同理解出满足初值条件的解为

在第三梯队中，西藏自治区在西部地区信息经济综合排名最低，反映了西藏自治区信息经济严重落后的实际情况；青海省信息经济整体非常落后，所有指标均在西部地区平均值之下。

 

显然，当bj1+bj2≠0，不妨设bj1+bj2＞0，yj→+∞，所以解不能连续延拓到无穷，而且吸引子为( -∞，+∞)，即所对应的解不相交。

综上，给出结论：当函数没有单调性时，解能否延拓不确定，解的吸引子存在性也是不确定的。

参考文献：

［1］JIAN Huaiyu，SONG Binheng.Vortex dynamics of Ginzburg-Landau equations in inhomogeneous superconductors［J］.Journal of differential equation，2001，170：123-141.

［2］JIAN Huaiyu.The dynamical law of Ginzburg-Landau vortices with a pinning effect［3］， Appl math lett，2000，13：91-94.

［3］张芷芬，丁同仁，黄文社，等.微分方程定性理论［M］.北京：科学出版社，2003：1-6.

［4］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京：高等教育出版社，2005：254-259.

［5］ LOJASIEWICZ S.Une proproiete topologique des sousensembles analytiques rells［J］.Colloques Internationaux du CNRS， 1963，117：87-89.

从“名师”到“明师”，教师不仅要探究教与学背后的理据，提炼自己的教学思想，其生成的个人理论更要通过名师的育人表现出来，将教学思想内化为教育理想情怀，实现对每一个学生的生命关怀与精神引领，这是“名师”成为“明师”的最高境界。教学风格或教学思想本质上讲的是名师在日常教学的经历、探究、感悟中形成的对教与学的一种观点、一种见解、一种思想，这种教学观如果不内化为对教育生命的关爱，只能是没有生命力的教学思想。名师不仅要有丰富的知识、技能、实践智慧与思想，更要用人格魅力与教育情怀感染学生。教学是教师的专业道德实践，这种内在的精神力量是名师独特的专业性所在。