横波引起的转动及其孪生剪切变形1)

各向同性线性弹性介质中，纵波是无旋的而横波是有旋的 [1-2].在弹性波理论中，旋转指微元体的刚性转动 [2-4]，而横波速度取决于剪切模量和密度[1-2].转动不是变形，剪切模量是介质抵抗变形并企图恢复到零偏应变状态的能力 [3-4]，旋转为什么能按横波速度传播呢？教材与文献均未解释.横波与纵波是最基本的弹性波动形式，导波、面波是以纵波和横波两种体波复合而成的.鉴于横波在弹性波理论 [1-2]、地震学 [5]、地震勘探 [6]、声波测井 [7]、超声检测[8]和爆炸与冲击[9]中占有重要地位，有必要弄清楚横波引起转动的机制.

1 位移场的旋度及转动的传播

弹性力学告诉我们，变形固体中一点的位移可分解为平移、局部刚性转动和变形 3个独立的部分 [1,3-4].变形又分为体积变形和形状变形.剪切模量反映介质抵抗形状变化的能力.一点形状变形的程度，可用偏应变来表征.一点的切应变不为零，该点的偏应变就一定不为零；另一方面，只要某点3个主应变方向上的线应变不完全相等，该点就存在偏应变[10-11]，这种情况下，主方向之外的任意两个正交方向之间的切应变都不为0.因此，一点存在切应变和存在偏应变在本质上是相同的，以下不再区分.

微元体上一点 B绕 A点转动所产生的位移du，可用旋转矢量ω和从A点到B点的矢径dr表示为[3-4]

 

而转动矢量为可用位移场的旋度表示[3-4]

 

与物体的整体刚体转动不同，微元体的转动是局部的刚性转动，下面简称为转动.

(1)横波引起局部刚性转动和剪切变形，且转动和剪切一一对应，相互依存.这是横波特有的性质.

 

偏应变或切应变(及相应的形状改变)既可由纵波引起，又可由横波引起.它伴随体应变(及相应的体积改变)出现于纵波中，伴随转动出现于横波中.为了方便记忆，打个通俗的比方吧.偏应变可拥抱“体应变”乘快艇(纵波)冲浪，也可牵手“转动”在慢速度的游船(横波)上游玩.

弹性波能在弹性介质中传播，是因为弹性介质具有两个特点：一是密度不为0，运动的微元体有继续运动的惯性；二是具有弹性恢复能力，即微元体有恢复原有形态的能力.打个比喻来说明吧,将许多块砖沿一条直线排列，让每一块砖立起来，砖与砖的距离小于砖的高度.现在以一定的水平速度推第一块砖的顶部，这块砖由于惯性就向前方倾斜，在打击相邻的砖后倒下；第二块砖也由于惯性而向前方倾斜，在打击第三块砖后倒下；依次，直到最后一块砖倾倒.但这样的多米诺效应不是弹性波，因为这些砖倾倒后没有能力恢复到直立状态，不能在平衡位置来回摆动.令人不解的是，剪切模量表征介质抵抗偏应变(或切应变)并企图恢复形状的能力，而转动是局部的刚性运动而不是变形，转动的传播速度为什么依赖于剪切模量呢？

2 平面横波引起的旋转及其孪生的剪切变形

本节针对各向同性线弹性介质中的平面横波，证明局部转动的传播必然伴生偏应变.或者说，横波不可能只产生转动而不引起偏应变.图1(a)显示横波在某点A附近引起的位移.按定义，横波传播时，位移方向与传播方向垂直.设均匀平面横波沿x方向传播，那么图中各点均只有y方向位移，且波阵面(x等于常数的平面，它与xy平面的交线为一条竖直线)上各点的位移相同.考察闭合路径ABCDA，记∆x=xB−xA，∆y=yD−yA.位移沿该路径的环量为，该路径包围的面积为∆x∆y，其上的位移环量面密度即为该点的旋度，其值为

 

注意到原来的直角 ∠BAD 变形后成为斜角∠B′A′D.按照定义 [10]，这个角度减小量就是切应变，其值正好等于式 (4)的右侧表达式.另一方面，按式(2)的定义，式(4)的左端等于平面内转动量的2倍.可见

假定企业在单价和固定成本不变的情况下，销售量的变动会引起息税前利润更大的变动现象，被称为经营杠杆效应。经营杠杆效应产生的根本原因在于固定成本的存在，在企业经营相关的范围内，销售量增加虽然不会改变固定成本，但会降低单位产品应负担的固定成本，从而提高单位产品利润，促使息税前利润的增长率大于销售量增长率；反之，销售量的降低幅度也会大于息税前利润的降低幅度。这两种变动幅度之间的关系，通常用经营杠杆系数DOL表示。根据推算，经营杠杆系数的计算公式表达为：

 

此式表明：平面横波引起转动时，一定引起切应变.对于的情况，切应变γxy将为负值，而转动量也是负值，式(5)仍然成立.

分析师预测、投资机会与投资强度..................................................................................................................冯戈坚 张晓倩 王建琼（41）

 

  

图1 平面横波引起的位移

2001-2012年海南省国际旅游外汇收入除2003年和2009年下降外，总体呈波动上升趋势。期间，2003年受亚洲“非典”公共危机事件影响，2008-2009年受全球金融危机影响出现下滑。其国际旅游外汇收入从2001年的1.06亿美元上升到2012年的3.48亿美元。12年间的平均国际旅游外汇收入为2.21亿美元，约占全国的0.65%，排名在二十一位名上下波动。2001-2012年海南省国际旅游外汇收入一直低于全国平均值，差距越来越大。

与传统混凝土施工技术不同，碾压混凝土施工技术在施工工艺上主要是应用了通仓薄层碾压的方式。水平层比较多是该种工艺的主要特点，相应的对水平层之间的结合配合度要求较高。

第三，国家通过制定一些标准、一些技术要求，规范科学研发、科研产品的应用等。比如，我国存在国家标准、行业标准、地方标准等，这些标准很多是对于科技类产品或者服务的要求。

以上为图示方便，按均匀平面横波进行了推导.但式 (5)对于非均匀平面横波也成立.事实上,对于沿 x方向传播的横波,必有 ux=0,于是切应变局部刚体转动为 ωz=即得 γxy=2ωz,这正是式(5).

式 (5)是针对平面横波推导出来的，一般的横波不一定满足该式.不过，由于任一横波总可以表达成平面横波的组合，而每个平面横波引起孪生的切应变与转角，可得出结论：弹性横波一定既引起旋转又引起剪切变形.

波的传播引起微团振动，前半个周期的位移与后半个周期的位移指向可以不同.图1(b)显示横波在某点 A 附近引起向下的位移.沿闭合路径ABCDA，位移的环量仍为但这里和 都是负数.该路径包围的面积为 ∆x∆y.计算位移环量面密度，得到该点的旋度，其值仍可用式(4)表达，而图中切应变也为负值.式(5)依然成立.

在作者的前一篇文章 [12]中,证明并举例说明了纵波一定引起偏应变.而一点出现偏应变就意味着该点发生了形状的改变，除主应变方向外的其他任意两个正交方向之间的切应变都不为0.在本文的这个姊妹篇中作者还指出，纵波速度之所以不仅依赖于体积模量而且依赖于剪切模量，是因为纵波扰动引起了体积变形和形状改变.纵波可在弹性固体介质中传播是因为介质既有恢复体积变形的能力，又有恢复剪切变形的能力，前者由体积模量表征，后者由剪切模量表征.传播速度依赖于介质受扰动后的恢复能力，所以纵波速度公式中既出现了体积模量又出现了剪切模量.

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3 纵波引起的剪切变形

纵波引起切应变，但不引起转动.因此，式 (5)揭示了横波特有的一种关系：转动与切应变一一对应，相互依存.

体积变形与剪切变形同时发生于纵波.纵波引起扰动后，介质必须既恢复体积又恢复形状才能回复到平衡位置，这就决定了纵波速度公式必须同时含有体积模量和剪切模量.即使单独考察体应变的传播，其速度也等于既依赖于体积模量又依赖于剪切模量的纵波速度.类似地，形状变化与刚性转动都发生于横波.横波引起扰动后，介质必须既恢复形状又使转角消失，才能回复到平衡位置.因横波引起的形状变化与刚性转动同步发生也同步消失，横波速度就依赖于剪切模量了.即使单独考察转动的传播，其速度也是依赖于剪切模量的.

式中为角加速度.式(3)表明，转动按横波速度c传播，该速度取决于介质的剪切模量µ和密度ρ.

既然横波引起转动时必然引起切应变，局部转动发生后，要恢复到转动前的状态，就必须同时将微元体恢复到零切应变状态，即恢复到原来的形状.转动是局部的刚性运动，它自身不是变形，介质似乎没有恢复转动的因素；但转动与剪切变形是孪生的，介质能否恢复到转动前的状态，就取决于形状能否恢复，即取决于介质的剪切模量.这就解释了转动为什么可以传播，且传播速度依赖于剪切模量.

与剪切既发生于横波又发生于纵波不同，局部刚性转动只发生于横波.纵波虽然引起剪切，但纵波是无旋波，位移场的旋度为0，不引起转动.

4 结论

弹性波教材给出了如下转动矢量满足的波动方程[2,11]

（1）实验选取停食48 h的健康有活力的斑点叉尾鮰，通过优化二氧化碳休眠条件，得出最佳的麻醉液温度、浓度和保活温度。（2）在最佳的条件下进行休眠和保活鮰鱼，探索出不同保活时间（5、7、9、11和13 h）的存活率以及保活时间对鮰鱼血液生化指标和肌肉品质的影响，并分别测定麻醉前（设为对照组）、保活以及复苏后（置于清水中24 h）各生化指标的变化，设定3个平行组，每个平行10尾鱼。

(2)既然横波引起的转动与切应变同步发生，那么要恢复到转动前的状态就必须恢复形状；而形状的恢复取决于剪切模量.所以转动以横波速度传播.

(3)形状改变可由纵波引起，也可由横波引起.但转动不会出现于纵波.

参考文献

1 Achenbach JD.Wave Propagation in Elastic Solids.Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1973

2 Eringen AC,Suhubi ES.Elastodynamics,v2,Linear Theory.New York:Academic Press,1975

3 王敏中，王炜，武际可.弹性力学教程 (修订版).北京:北京大学出版社,2011

4 陈明祥.弹塑性力学.北京:科学出版社，2007

5 Aki K,Richards PG.Quantitative Seismology.Second Edtion.Sauslito,California:University Science Books,2002

6 何樵登.地震勘探原理和方法.北京:地质出版社，1986

7 王克协，崔志文.声波测井新理论和方法进展.物理，2011，40(2):88-98

8 Rose JL.Ultrasonic Waves in Solid Media.New York:Cambridge University Press,2014

9 宁建国.爆炸与冲击动力学.北京:国防工业出版社，2010

10 粟一凡.材料力学，下册，第2版.北京:高等教育出版社，1960

11 杜庆华，余寿文，姚振汉.弹性理论.北京:科学出版社，1986

12 胡恒山.拉梅常数的力学意义与剪切模量出现于纵波速度公式的原因.地球物理学进展，2018,33(1):219-222