基于Hansbo渗流的圆柱土样Biot固结分析1)

经典Terzaghi固结理论奠定了现代土力学的基础，但由于该理论认为土体中各点的体积应力不随时间而变，所以在理论上是不严格的.Biot[1]直接从平衡方程，几何方程和本构方程入手，使位移与渗流直接耦合，准确反映出孔隙水压力(孔压)变化与土骨架变形的相互关系，使固结理论趋于完善.在用 Biot理论分析饱和黏性土固结问题时，在固结初期往往会出现孔压不消散反而增大并超过初始孔隙压力的现象 [2-3]，称之为 Mandel--Cryer效应.并且，Gibson等[4]的土球试验证明了这种效应的存在.后来有不少学者从多方面对该现象进行了分析，例如，殷宗泽 [5]、纪多辙等 [6]、原新生等 [7]分别采用有限元法或引入数学级数、Green函数对圆柱土样Biot固结方程进行求解，分析了材料常数等对该现象的影响.这些传统的Biot固结理论都假定土体中的渗流符合Darcy定律，而后者对饱和黏性土的适用性一直受到质疑.Terzaghi早在1925年就指出塑性大的黏土会出现其渗流偏离Darcy定律的现象.这一论断也得到越来越多渗流试验的证实，并提出了不同的非Darcy渗流形式[8-13]，其中应用较为广泛的当属Hansbo公式[9]

 

式中，v为土体渗流速度；m 为试验常数；i为水力梯度；c和 k为渗透系数；i0为直线渗流计算起始水力梯度；i1为直线渗流的起始水力梯度，且如令 m=1或i0=0，式(1)可退化为Darcy定律.

目前考虑非Darcy特性对固结性状影响的研究大多在一维固结方面.例如，谢海澜等[14]，刘忠玉等 [15]，鄂建等 [16]先后引入 Hansbo渗流方程 (1)或其简化形式修正Terzaghi固结理论，参数分析表明，Hansbo渗流会大大延缓孔压的消散速度.在此基础上，其他学者[17-21]先后又考虑了土体变形非线性及流变特性的影响.Hansbo[22]、周琦等[23]、刘忠玉等[24]则进一步将式 (1)或其简化形式引入到砂井地基固结分析中，但他们并没有考虑孔压与土体变形的耦合效应，因而仍属于Terzaghi固结理论.Teh等 [25]、邓岳保等 [26]和 Deng等 [27]分别以轴对称或三维Biot固结理论为基础，分析了Hansbo渗流条件下砂井固结地基固结度的变化规律，但并没有讨论其对Mandel--Cryer效应的影响.

为进一步深入讨论渗流模式对饱和黏性土固结特性以及孔压变化规律的影响，本文拟以圆柱土样为研究对象，引入方程 (1)描述固结过程中的非Darcy渗流，修正Biot轴对称固结方程，并引入有限差分法求其数值解，进而分析Hansbo渗流参数对固结过程的影响.

定义1 对于Tu和Tw(1u,wt，u≠w，Tu∈fo∧Tw∈fo)，如果xi∈Tu∧xi∈Tw或者则称Tu和Tw存在着关于PI信号xi的空间相关性.满足此条件的xi越多，则Tu和Tw关于PI信号的空间相关性越强.

1 理论公式推导

1.1 基本假定

本文假定土中渗流服从Hansbo渗流方程(1)，且其中参数在固结过程中为常数，其余都与Biot固结理论的基本假定相同.为便于应用，这里将式(1)改写为类似Darcy渗流的形式，即

 

对比式(5)与式(7)可得

 

1.2 控制方程的建立及求解条件

设线弹性饱和圆柱土样均匀且各向同性，其半径为 a，长度 h≫ a，内部无初始孔压，径向外表面为完全排水边界且受均布压力q作用.该问题为轴对称的平面应变问题.以圆心为原点，建立极坐标系.这样基于Biot固结理论，轴对称条件下的平衡微分方程为

 

式中，E和µ分别为土的杨氏弹量和泊松比；u表示圆柱土样的径向位移，沿半径方向向外为正，反之为负；p为孔压，以压为正，以拉为负.

通过深化设计+集装箱海运的策划应用，合理配置了集装箱与材料的规格尺寸，提高了集装箱运输材料的可行性，降低海运的成本。

半径r处体应变θ与径向位移u的关系为

通过本文的分析我们可以知道的是，工程项目的施工进度管理与质量管理所涉及到的内容是多个方面的，为了让项目的质量以及施工进度得到保障，必须多方面进行协调，让企业的资源配置达到最后。对工程质量进行全面强化，必然要从各个环节入手，让各个环节的负责人员对施工现场的质量管理以及进度管理的重要性有更加清楚的认识，将施工目标进行科学的分解，从而对施工内容以及分工进行更为合理的分配，让其得到落实，最终让施工企业的整体管理水平得到较大的提升。

 

根据土体渗流连续性条件可得

 

式中，时刻T=0时的孔压P0=1.

 

式中，p表示半径r处的孔压,γw为水的重度,系数K为

 

将式(8)代入式(3)可得以位移表示的平衡方程为

 

式中，K1=KE(1−µ)/[(1+µ)(1−2µ)].

2017年8月8日，共建“平安西江”行动启动。记者通过专访广东海事局局长陈毕伍了解到，在一年多的建设时间里，共建“平安西江”行动取得了阶段性成果，该行动也让广东海事局追求的水上安全监管长治久安目标得到进一步实现。

方程(8)和方程(9)的边界条件及初始条件为

 

式中，下标j是空间节点，上标b是时间节点，且

为了方便数据处理与分析，引入无量纲参数

异质性是建设区域性碳排放权交易市场的理论基础。中国地域辽阔，地区间发展差异巨大，区域性的碳交易市场和全国性的碳交易市场均有存在必要；华南地区包含广东省、广西壮族自治区、海南省、福建南部，区域内部存在碳排放强度异质性、技术异质性、行业异质性等特点，建设华南地区的区域性碳交易市场，扩大市场容量、增加异质性，能实现低碳技术转移、降低碳交易成本、加强碳市场流动性，从而实现跨省市的协同治理促进区域生态环境改善，实现华南地区区域经济与社会环境的协调发展。

 

则式(8)～式(12)化为

 

式中，系数

1.3 有限差分法求解

为分析土柱中孔压的整体消散规律，引入按孔压定义的平均固结度

 

式中，Cv=kE(1− µ)/[γw(1+µ)(1−2µ)].

 

边界条件式(16),式(17)可表示为

 

由式(19)～式(22)即可求得土柱的位移，而孔压的求解则需将式(14)离散化为

 

原新生等[7]已讨论过弹性材料常数等对圆柱土样Biot固结过程的影响，因此，这里仅讨论Hansbo渗流参数的影响.计算中取 E=7MPa，µ=0.3，q=1MPa.

 

采用Crank--Nicolson有限差分法求数值解.在0≤R≤1范围内以∆R为步长将土柱由内到外均匀离散为N层，且以∆T为步长将时间T均匀离散.这样，式(15)可离散为

 

将式(2)代入式(6)可得

假设孔压 P在区间 [Rj,Rj+1]中是线性变化的，则式(25)变为

 

式中

 

2 算例验证

当参数m等于1时，Hansbo渗流退化为Darcy渗流，原新生等 [7]曾引入 Green函数给出了相应固结方程的解析解，这里以此为例进行上述差分算法的验证. 计算时取 ∆R=0.01，∆T=10−5，E=7MPa，µ=0.2，q=1MPa.本文数值解与原新生等[7]解析解对比如图1所示.从中可以看出二者相当吻合.

  

图1 Darcy渗流时的孔压变化曲线

3 参数分析

相应的边界条件式(18)可变为

3.1 Hansbo渗流对孔压的影响

为了探讨Hansbo参数对孔压消散的影响，图2给出了不同Hansbo渗流参数时R=0.1处的孔压随无量纲时间变化曲线.很显然，随着Hansbo参数m或I1的增大，所有曲线都更远离Darcy渗流曲线，固结前期的孔压升高现象也更加显著，且达到的孔压峰值比 Darcy渗流时明显增大.以 I1=1且 m=1.2，1.5和 1.8为例，其孔压峰值分别为1.276，1.443和1.561，而Darcy渗流时的孔压峰值仅为1.127，所以Hansbo渗流会增强Mandel--Cryer效应.但对应孔压峰值的时间将会延迟，比如，对应上述Hansbo参数时达到孔压峰值的时间分别为T=0.065，0.074和 0.081，而 Darcy渗流时达到峰值的时间仅为T=0.049.

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图2还表明，当达到孔压峰值后，即在固结中后期，孔压都随时间而逐渐消散，但在同一时刻T，Hansbo渗流参数越大，对应的孔压P也越大，因此Hansbo渗流会延缓圆柱土样内孔压的消散.

  

图2 Hansbo对孔压的影响(R=0.1)

3.2 Hansbo渗流对固结度的影响

按孔压定义的平均固结度UR可以反出土柱中孔压的整体消散程度.为了分析 Hansbo渗流的影响，图 3给出了不同 Hansbo参数 (m或 I1)时固结度随时间的变化曲线.很明显，m 和 I1对饱和黏性土固结度的影响是类似的，即这些参数越大，达到同一固结度需要的时间越长，比如，要使固结度达到 90%，在 Darcy渗流时需要的无量纲时间T=0.447，而在 Hansbo渗流时，对应 m=1.5且I1=0.5，1.0和 1.5的 T分别等于 0.667，0.754和0.809.所以，与Darcy渗流相比，Hansbo渗流使得圆柱土样内孔压的整体消散大大延迟.

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图3 Hansbo渗流对平均固结度的影响

3.3 Hansbo渗流对位移的影响

记Uc为计算点处的最终径向位移，这样，边界处的U/Uc类似于一维固结时按变形定义的平均固结度.在线弹性范围内分析饱和黏性土的一维固结时，不论渗流形式采用Darcy渗流还是Hansbo渗流，按孔压定义的固结度和与变形定义的固结度是一样的[14-16]，但对于本文所讨论的轴对称Biot固结问题，二者却相差很大.图4给出了Hansbo渗流时R=1.0和0.8处的U/Uc随时间T的变化曲线.尽管随着Hansbo渗流参数的增大，U/Uc都减小，但在本文的计算参数取值范围内，在同一时刻，同一点处的径向位移都与Darcy渗流时的结果相差很小.

4 结论

引入Hansbo渗流模型描述饱和黏性土中的非Darcy渗流，基于Biot固结理论推导了圆柱土样固结方程，并给出了方程的Crank--Nicolson有限差分格式.通过数值分析Hansbo渗流参数m和I1对固结过程的影响，得出以下结论：

  

图4 Hansbo渗流对位移的影响

(1)Hansbo渗流参数m或I1越大，固结前期的 Mandel--Cryer效应会越显著，即孔压峰值会随Hansbo渗流参数的增大而增大，且达到峰值的时间会随后者的增大而延长.

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(2)Hansbo渗流会延缓圆柱土样内孔压的整体消散，且m或I1越大，这种延缓现象越明显.

(3)Hansbo渗流对圆柱土样内径向位移的影响不大.

参考文献

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2 Mandel J.Consolidation des sols.Geotechnique,1953,9(3):287-299

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4 Gibson RE,Knight K,Taylor PW.A critical experiment to examine theories of three-dimensional consolidation.The European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering,1963

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11 Deng YE,Xie HP,Huang RQ,et a1.Law of nonlinear flow in saturated clays and radial consolidation.Applied Mathematics and Mechanics (English Edition),2007,28(11):1427-1436

12 孙丽云.基于非达西渗流的饱和黏土一维固结试验与理论研究.[博士论文].郑州:郑州大学,2011

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