一种近场动力学非普通状态理论零能模式控制方法1)

引言

近场动力学(peridynamics,PD)是一种新的无网格方法，采用积分方程代替传统连续介质力学中的微分方程，不再基于连续性假设建模.它兼有分子动力学方法和无网格方法的优点，避免了有限元、有限差分等传统方法在面临不连续问题时的奇异性，又突破了分子动力学方法在计算尺度上的缺陷，在研究损伤、断裂、失稳等不连续问题时具有明显优势[1-5].最初的 PD键理论不涉及应力、应变等概念，影响数值分析结果与传统实验和数值结果的对比[6-7].由于只考虑两物质点之间中心相互作用力，其模型的泊松比为固定值(三维问题和平面应变问题为1/4，平面应力问题为1/3)，且无法正确反映材料的塑性、黏性等特征[8-10].PD非普通状态理论克服了PD键理论的不足，能够引入传统本构关系和破坏准则，受到了越来越广泛的关注.谷新保等[11]采用PD非普通状态理论模拟了含圆孔平板的裂纹扩展和连接过程.刘肃肃等[12]引入传统单参量非线性本构模型，实现了复合材料非线性行为的模拟.Foster等[13]在PD非普通状态理论中引入率相关塑性本构模型，Tupek等[14]引入传统损伤模型.

在医院感染控制工作当中,还要建立医院感染检测系统。要定期对检测系统进行巡查以及考评,将检测数据作为护理管理工作当中的考核点,并且对护理工作当中消毒、灭菌以及隔离等工作的落实情况进行监督,不定期的对护理人员以及临床医疗用品进行抽查检查。对危重患者进行监控,对发热患者以及有着侵入性病患的患者进行及时的监控,收集各种有关资料,从而采取有效的预防措施。

采用节点积分计算效率高，但会引起零能模式，单元可以在微小的扰动下无限地变形下去，而不消耗任何能量.与光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics，SPH)[15]以及无网格伽辽金方法[16-19]类似，PD非普通状态理论在采用节点积分时，也会产生零能模式，引起位移场和应力、应变场的数值振荡，影响计算精度甚至得到完全错误的结果.目前，学者们提出了多种零能模式控制方法，Breitenfeld等 [20-21]提出在力状态的基础上增加沙漏力，通过调节沙漏力控制零能模式，若沙漏力太小，零能模式无法得到有效控制，若沙漏力太大，运动方程的解被沙漏力主导，易造成结果不收敛，因此沙漏力的取值至关重要.Wu[22]将物质点处的位移用其近场范围内的平均值代替，得到稳定的位移场.Becker[23]利用速度与其近场范围内速度平均值的加权替换物质点处的原始速度，得到稳定的速度场.Wu和Becker的方法本质上是一种数据平滑技术，不仅针对零能模式，它还可以处理其他因素引起的数值振荡问题.他们的方法虽然避免了增加沙漏力控制，但应力、应变场数值不稳定问题仍没有得到解决.PD非普通状态理论中的零能模式主要由计算近似变形梯度过程中的误差引起，因此，提高近似变形梯度的计算精度同样可以减小数值振荡，抑制零能模式.Yaghoobi等[24]通过固定近场范围内各个物质点的影响函数，将近似变形梯度的计算精度从一阶提高到二阶、四阶，甚至六阶，减小了计算的数值不稳定性.但影响函数不再为正值，易造成数值奇异.Silling[25]通过最小位能原理推导出稳定的关联材料模型，从材料不稳定而不是传统数值不稳定的角度控制零能模式.方法思路好，但它仍需要通过大量数值实验确定合适的常数取值，耗费计算时间，且文献算例得到的带孔平板的破坏模式并不太理想.

[34] Robert Sutter, Chin-Hao Huang, “China-Southeast Asia Relations: South China Sea, Economic Issues”, Comparative Connections, April 2009.

上述方法大多需要通过大量数值实验确定零能模式控制参数，耗费计算时间.而避免了增加沙漏力的平滑技术处理没有解决应力、应变场的不稳定问题.因此有必要提出一种新的零能模式控制方法.

本文基于线性化PD键理论，推导非均匀变形状态对应弹性系数张量的具体形式，建立基于线性键理论的稳定关联材料模型，并应用于含圆孔平板、三点弯试件的线弹性分析以及损伤破坏分析.结果表明，该模型物理意义明确，可以有效抑制零能模式引起的数值不稳定性，避免复杂的参数调节过程，提高了计算效率.

在“白专典型”和“反革命家庭出身”的双重巨大压力之下，邢先生忍辱负重、刻苦做学问，并取得如此突出成绩。邢先生成长的经历告诉我们，好的时代和好家庭出身固然能为人才的成长创造好的环境和条件，有助于人才的进步。但对于一个有理想有抱负有毅力的人来说，即便是在逆境中，他们都能以坚韧顽强的意志，克服重重困难不断成长进步，获得成功。

尽管PD运动方程是动态形式的，但采用动态松弛法进行求解时仍可用于解决准静态问题.根据动态松弛方法，引入虚拟惯性项和虚拟阻尼项之后运动方程式(6)可以改写成[2,33]

1 近场动力学非普通状态基本理论

1.1 运动方程

PD非普通状态理论的运动方程为[26]

输配电线路中的各主要参数的测量和数据收集，是电力调度监控系统工作的主要内容，其测量对象主要包括电压、电流、电度、开关的分闸与合闸等。目前变电站的设备管理层能够为工作人员提供相关数据处理平台，通过对信号模拟量测定数据的处理，为后续的调节变电站运行控制提供依据。

 

其中，µ(x,x′,t)为表征物质点对是否断裂的函数，其表达式为

  

图1 物质点与其近场范围内其他物质点的相互作用Fig.1 Pairwise interaction of a material point with its neighboring points

在x的近场范围内，物质点x与x′的相对位置以及两者之间键的变形状态分别为

 

计算物质点处的离散化变形梯度[27]

 

其中，K称为形变张量，ω〈ξ〉为作用键的影响函数，它是两点相对位置|ξ|的函数.

根据连续介质力学，物质点的应变张量可以表示为

 

其中为非均匀变形状态引起的力状态

 

其中，P为第一类Piola-Kirchhoff应力，S为第二类Piola-Kirchhoff应力.

将式(5)代入式(1)可得PD非普通状态理论的运动方程

 

1.2 损伤定义

在PD理论中一般采用键的临界伸长率破坏准则，认为键的伸长率达到临界伸长率时，两点之间的作用键发生断裂.键的伸长率s的表达式为[2,29-31]

 

二维情况下各向同性线弹性材料的键临界伸长率sc的表达式为

 

其中，K为材料的体积模量，µ为剪切模量，Gc为断裂能.

此外，也可以基于应力状态定义损伤[32].首先定义物质点x和x′之间的平均第一主应力

 

定义各物质点的局部损伤值

 

其中，ρ为材料密度，为物质点的加速度，dV′是初始结构中物质点x′所占的体积，b代表单位体积物质所受的外载荷，为物质点 x′对 x的力状态，H={x′∈ R ∶‖x′− x‖≤ δ}为空间域内物质点x的近场范围，δ为近场半径，如图1所示.

 

其中，ft为材料的拉伸强度；ϕ(x,t)取值范围在[0,1]之间，0表示该物质点邻域内无作用键断裂，1表示邻域内的键全部断裂.

采用线性化键理论，根据非均匀变形状态以及其对应的弹性系数张量可得到物质点 x处的弹性能密度

 

将损伤因子d定义为断裂键个数与作用键总数的比值

 

1.3 运动方程求解

如果北方民族是从中亚走过大戈壁来到中国的，他们应该是大语种，本地的土著人是小语种，应该随从他们，但是从鲜卑人主动放弃自己的语言，禁穿胡服，禁说胡语，自觉地与汉族人同化，说明外来的民族是小众，是小语种，而本地的土著人口众多，是大语种。到汉朝，外国人称汉朝的土著居民为“汉族”，今天“汉族”本身已经融合了鲜卑、女真等几个消失了的民族。

 

其中，f(x,t)为物质点 x所受的单位体积合力；Λ为质量密度对角阵，对角元素

在自适应动态松弛法中，为了使运动方程的解尽快收敛到稳定解，每一个载荷步阻尼系数cn都需要重新计算，计算公式为

 

2 基于线性化键理论的稳定关联材料模型

Silling[25]将零能模式看作材料不稳定性，通过最小位能原理推导出一种稳定的关联材料模型，其力状态表达式为

 

因此，式(19)可以改写为

Silling在推导稳定关联材料模型的过程中，将非均匀变形状态对应弹性系数张量的具体形式直接取为键理论微模量的常数倍，没有考虑微模量随不同作用键的变化.公式中包含常数G，需要通过大量数值实验确定合适的取值.常数G不是无量纲的量，其取值与物质点体积相关.因此，对于不同的离散模型，数值相差较大，增大了零能模式控制难度.

甲状腺结节微波消融治疗后消融区发生液化性坏死并导致颈部皮肤红肿破溃的现象，虽然临床少见但并不罕见，其确切的形成机制尚不清楚，“液化与吸收失衡”假说的提出为探索其潜在机制提供了线索。采用超声引导下扩开皮下窦道助其自然引流，避免外科手术切开引流造成的二次损伤和颈部切口瘢痕形成，符合患者选择微创消融治疗的初衷。本研究提供的 4 种甲状腺结节微波消融术后消融区液化性坏死的预防措施有一定效果，但尚不能杜绝消融区液化性坏死的发生。

为了克服以上困难，本文基于线性化PD键理论，推导出弹性系数张量〈ξ〉以及非均匀变形对应力状态的具体形式.

对于微弹性材料，线性化之后键理论本构力函数和力状态的表达式分别为[1,34]

 

物质点x处的弹性能密度[1]

 

其中，ω〈ξ〉为影响函数；C〈ξ〉=cξ⊗ξ/|ξ|3为弹性系数张量，c=18K/πδ4为键理论中的材料微模量[35]；η=u′−u为物质点之间的相对位移.

通过影响函数引入损伤

 

对比式 (18)和式 (19)后发现，弹性系数张量可以表示为

细分问题度取决于我们的知识储备量，我们对一个事情了解得越多，越能把问题细分。因此作为妈妈的我们需要阅读大量儿童生理和心理发展以及社会文化等相关书籍进行知识储备。唯有懂得才能详细。

本研究强调游泳自救与水上救助能力，以正确引导学生提高生命安全意识，掌握水上安全技能为目的，在游泳的课程学习中，锻炼体能、培养体育的核心素养，养成勇敢、顽强、冷静的文化修养，学会良性的社会参与行为，以安全的方式自救或救助他人，提高学生安全避险的能力。

 

其中，为第一类Piola-Kirchhoff应力，F为变形梯度，G 为正常数，表示变形状态的非均匀部分.

 

弹性能密度增量为

 

令连续介质力学应变能和PD应变能相等，可得PD力状态的表达式[28]

美国AKH董事长Dave Caulk先生也就“自冲平头铆钉铆接工艺（SPFR）”进行了讲解，美国BTM产品经理Brian Petit先生针对“无铆钉金属连接技术”做了详细介绍，还有来自清华大学的朱志明教授、天津大学的罗震教授、华南理工大学的王振民教授、哈尔滨工业大学（威海校区）的宋晓国教授以及广东省焊接研究院的董春林院长等都针对先进的焊接技术阐述了看法，这不仅促进了技术间的交流，也为行业发展带来推动作用。

 

结合式(5)和式(23)，得到稳定关联材料模型的力状态

 

其中，σs定义为

 

若令弹性系数C〈ξ〉为常数，则

 

此时，式(24)简化为式(16).因此，Silling提出的稳定关联材料模型是式(24)的一种特殊情况.

建设高速公路沥青路面是一项耗资巨大的工作，如何才能利用最少的资源以改进道路的使用寿命和效益，一直都是各部门研究的关键所在。因此研究旧路面结构利用是当代的重点研究课题之一。旧路面结构通过改造加工，而得到一个全新的路面，能够承受更大载荷的路面，又因其成本低，能够以极少的资源来换取较大的利益而得到广泛应用。但是目前这个研究课题缺少足够支持，其实施的技术和标准不完善，没有一个完善的病害类型评价和改造工程总体评价体系，一直影响着旧路面结构利用研究的进度。而针对其后期的利用及验证等问题进行相关的研究也具有很大的意义。

可见，基于线性化PD键理论建立的稳定关联材料模型，推导过程和公式具有明确的物理含义.推导出的力状态公式中不涉及常数G，避免了计算中调节参数的复杂过程.

3 算例

3.1 含圆孔平板的拉伸模拟

中心含圆孔平板长 150mm，宽 50mm，厚1mm，孔直径为20mm，受拉伸载荷作用.板的弹性模量为210GPa，泊松比为0.3[25]，将其简化为平面应力问题进行模拟.平板均匀离散为7184个粒子，相邻粒子间的间距Δx=1.0mm，近场半径δ=3Δx，离散模型如图2所示.采用位移逐步加载，共4000个加载步，每步施加位移为5.0×10−5mm，时间步长为1.0s.

  

图2 含圆孔平板离散模型Fig.2 Discrete model of plate with a circular hole

3.1.1 线弹性分析

图3和图4分别给出无零能模式控制和采用基于线性化键理论的稳定关联材料模型(linearized bond-basedperidynamicsbased stabilizedcorrespondence material model,LBSCMM)时x方向位移云图和平板x方向位移沿x轴的分布曲线，可以看出PD非普通状态理论产生明显的数值不稳定性，且在靠近圆孔的位置最为明显，体现了零能模式控制的必要性.基于线性化键理论的稳定关联材料模型有效地抑制了零能模式引起的数值振荡，得到了稳定的位移场.

现在很多管理工作者注重制度化而忽视人性化，从而导致在管理过程中制度得不到很好落实的同时人性化也得不到很好地体现，人性化管理一定是在制度的前提下才可以谈，人性化的管理绝对不是不要制度，因此两者并不是对立的。制度化管理是人性化管理的基础，二者都不能少，没有制度就没有理论，要用人性化的思维制定管理制度，严格执行管理制度时可以有一些人性化的手段，如果制度没有人性，肯定是没有办法执行的，要做到公平公正。如果执行对所有人有利而破坏了规章制度，对自己也没有任何好处。

  

图3 平板x方向位移云图Fig.3 x-directional displacement contours of plate

  

图4 平板x方向位移沿x轴的分布曲线Fig.4 x-directional displacement of plate along x-axis

3.1.2 损伤分析

在上述线弹性模型的基础上考虑材料损伤，研究零能模式对材料损伤破坏过程的影响.采用临界伸长率破坏准则，键临界伸长率sc=0.002.图5和图6分别给出无零能模式控制和采用基于线性化键理论的稳定关联材料模型时带孔平板的破坏模式、损伤演化过程.由于PD键理论没有零能模式控制问题，图中也同时给出了键理论的模拟结果进行对比.可见PD非普通状态理论中的零能模式使得平板试件过早地产生损伤，裂纹贯穿之后损伤仍在加剧,且损伤区域较大，严重偏离实际情况.本文模型模拟得到的平板试件破坏模式以及损伤演化过程与PD键理论模拟结果吻合很好，表明本文模型在零能模式控制方面的正确性和有效性.

  

图5 平板零能模式对材料损伤和变形的影响Fig.5 Influenc of zero-energy mode on material damage and deformation of plate

  

图6 平板损伤因子随加载位移的变化Fig.6 Change of damage factor with increasing displacement of plate

文献[25]通过调节常数G的取值控制零能模式，只给出平板的最终破坏模式，没有涉及损伤演化过程，如图7所示.然而G的取值会影响损伤演化过程，从而得到不同的载荷--位移曲线.因此，常数G的取值与试件的损伤演化过程、最终破坏模式、载荷--位移曲线均相关，调节过程具有一定难度.本文模型则避免了常数调节过程，提高了计算效率，且试件破坏模式与文献[25]的结果相比更好.

  

图7 Silling模拟得到的平板损伤云图[25]Fig.7 Damage contours of plate obtained by Silling[25]

3.2 三点弯模拟

三点弯试件尺寸参数如下：L=136mm，H=34mm，厚度B=17mm，初始裂缝长度a=17mm，将其简化为平面应力问题进行模拟.试件被均匀离散为5127个粒子，相邻粒子间的间距Δx=1.0mm，近场半径δ=3Δx，几何模型和离散模型如图8所示.试件上表面中心施加压缩位移载荷，下表面在距离中心L/2处对y方向位移进行约束.加载过程包括4000个加载步，每步加载位移为6.25×10−5mm，时间步长为1s.试件采用PBX9501的同密度代用材料Mock 900-21制成，Mock 900-21的材料参数如表1所示.

  

图8 三点弯试件示意图Fig.8 Three-point bend specimen with a single edge notch

 

表1 Mock 900-21材料常数[36]Table 1 Material parameters of Mock 900-21[36]

  

Elastic modulus E/GPa Poison′s ratio ν Density ρ/(kg ·m−3)Tensile strength ft/MPa 2.8 0.3 1837.0 1.8

3.2.1 线弹性分析

图9和图10分别给出无零能模式控制和采用基于线性化键理论的稳定关联材料模型时x方向位移云图和三点弯试件位移沿x轴的分布曲线，可以看出PD非普通状态理论产生明显的数值不稳定性，且在靠近缺口和受约束位置最为明显.基于线性化键理论的稳定关联材料模型有效地抑制了零能模式引起的数值振荡，得到了稳定的位移场.

  

图9 三点弯试件x方向位移云图Fig.9 x-directional displacement contours of three-point bend specimen

  

图10 三点弯试件x方向位移和y方向位移沿x轴的分布曲线Fig.10 x-directional displacement and y-directional displacement of three point bend specimen along x-axis

3.2.2 损伤分析

在上述线弹性模型的基础上考虑材料损伤，研究零能模式对材料损伤破坏过程的影响，采用最大主应力破坏准则.图11和图12分别给出无零能模式控制和采用基于线性化键理论的稳定关联材料模型时三点弯试件的破坏模式、损伤演化过程，以及同等条件下PD键理论的模拟结果.可见PD非普通状态理论中的零能模式使得三点弯试件损伤集中在缺口附近，并迅速向周边扩展，严重偏离实际情况.本文模型模拟得到的三点弯试件破坏模式以及损伤演化过程与PD键理论模拟结果吻合很好，表明本文模型有效抑制了零能模式引起的数值不稳定性.另外，结合图10和图11可以发现，零能模式对线弹性阶段影响较小，但却严重影响结构的损伤演化过程和破坏模式.

  

图11 三点弯试件零能模式对材料损伤和变形的影响Fig.11 Influenc of zero-energy mode on material damage and deformation of three-point bend specimen

  

图12 三点弯试件损伤因子随位移的变化Fig.12 Change of damage factor with increasing displacement of three-point bend specimen

4 结论

近场动力学非普通状态理论克服了近场动力学键理论的缺陷，能够将传统本构关系和破坏准则引入PD框架.与其他无网格法类似，采用节点积分的近场动力学非普通状态理论会产生零能模式，引起数值振荡.

2、往来账款核算制度不健全。电力企业在往来账款核算方面制定了一系列的管理制度，包括往来账款的管理办法、往来客户的信用管理等，从往来账款的源头和具体的内容流程管控作出详细规定，但所有这些管理办法中缺乏对每一项业务往来的具体要求和规定，流程管控上比较粗线条。同时电力企业在业务管理上未能及时更新，不能根据不同的业务环境作出相关制度管控的更改，缺乏灵活性。因此，这种模式下的往来账款管理中会存在业务部门单纯为了达到管理制度而完成任务的现象，对公司整体的经济效益有一定弊端。

本文基于线性化PD键理论，推导出非均匀变形状态对应弹性系数张量的具体形式，建立基于线性化PD键理论的稳定关联材料模型，研究了含圆孔平板、三点弯试件的线弹性行为以及损伤破坏行为，得出以下结论：

(1)PD非普通状态理论无零能模式控制的情况下，数值振荡引起结构提早产生损伤并断裂，导致失效载荷偏小，或损伤在缺口附近集中，并迅速向周边扩展，使得破坏模式与实际不相符.

农民按照城镇化规律集中居住是落实乡村振兴战略的有效抓手，也是符合农民意愿的实践探索。因集中居住产生的新型农村社区，既有传统乡土社会的传承，也有现代城市社会的特点。加强新型农村社区党建工作，是适应农业结构调整、农民集中居住、农村发展变化的必然要求，也是完善农村治理体系，巩固党在基层执政根基的内在要求，需要运用好“融”理念，使基层党组织始终在乡村治理体系中处于核心地位，发挥引领作用。

(2)本文提出的基于线性化 PD键理论的稳定关联材料模型有效地抑制了零能模式引起的数值振荡，使得线弹性分析与有限元结果一致，破坏模式以及损伤演化过程与PD键理论结果吻合很好，验证了本文提出模型的正确性和有效性.

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