和幻阵与积幻阵的代数系统研究

幻阵是矩阵理论研究的一个基本工具，它最早出现在13世纪，时至今日，幻阵仍然是一代代数学家和数学爱好者的研究兴趣之一。研究幻阵[1-2]及幻阵的代数系统从某个角度讲实质上是进一步充实代数相关理论[3-7]。早在13世纪，我国南宋著名数学家杨辉在世界上首先开展了对幻阵及幻方的系统研究，而后14世纪的欧洲也开始了这方面的工作；瑞士著名数学家欧拉也进行过幻方研究。如今，幻方仍然是组合数学的经典研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻阵以及由它所引出的各种数学理论正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。为了方便研究，下文中Eij(m,n)表示m×n矩阵中位于第i行第j列位置元素为1而其余位置上元素为0的矩阵。

1　和幻阵、积幻阵的相关定义

定义1[1]：设F是数域，如果矩阵A∈Fm×n满足

则称矩阵A为数域F上的m×n阶行和幻阵；

则称矩阵A为数域F上的m×n阶列和幻阵；

则称矩阵A为数域F上的m×n阶行列和幻阵，并称Sr为m×n阶行列和幻阵A的行幻和，Sc为m×n阶行列和幻阵A的列幻和。

定义2[2]：设F是数域,矩阵A=(aij)m×n∈

Fm×n,如果矩阵A满足

1)∀则称矩阵A为数域F上的m×n阶行积幻阵；

2)∀则称矩阵A为数域F上的m×n阶列积幻阵；

3)∀∀则称矩阵A为数域F上的m×n阶行列积幻阵，并称Pr(A)为m×n阶行列积幻阵A的行幻积，Pc(A)为m×n阶行列积幻阵A的列幻积。

2　代数系统

定义3[4]：设S是一个非空集合，称S×S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即对于S中任意2个元素a,b，通过f，唯一确定S中一个元素c:f(a,b)=c，记a*b=c。

定义4[4]：设S是一个非空集合，若

因为矩阵加法关于交换律成立，即

2)•适合结合律：(a•b)•c=a•(b•c)，∀a,b,c∈S，则称S关于•是一个半群，记作(S,•)。

引理5[4]：设(G,•)是一个有单位元的半群，若G的每个元都是可逆元，则称G是一个群。

对∀A=(aij)m×n∈W，

由于在优化的过程中同时考虑了Kriging近似的误差以及优化过程中样本点处的目标函数值，在IBS方法中各概率约束均能够被较为准确地拟合(如图6b)，进而证实了其较好的全局优化能力，但由于未进行无效概率约束的剔除，其求解效率难以达到最优。

3　和幻阵的代数系统研究

定理1：设P是一个数域，x是一个m×n阶行和幻阵，集合G={x|x∈Pm×n}，则(G,+)是一个交换群。

馈能制动控制是指在新能源车辆减速或制动时，将其一部分动能转化为其他形式的能量储存起来以备驱动时使用的过程，这点是新能源汽车的电动机在控制过程中可根据需求转为发电机工作方式从而给动力电池充电，这一工作特性通常是传统汽车所不具备的，充分体现了混动(电动)汽车的控制方式特点、制动方式与节能优势。

证明：对于∀A=(aij)m×n∈G,∀B=(bij)m×n∈G,∀C=(cij)m×n∈G，

 

A+B=(aij+bij)m×n∈H且

实施模块化教学，需要调整计算机基础课程教学内容，结合高职学生特点和学习能力，将课程教学内容分为多个相对独立、教学内容和学生的就业能力对接的模块，并设立每个模块的考核标准，培养学生的自主学习能力，形成能适应工作岗位的计算机操作实训技能。

A+B+C=(aij+bij)+cij=aij+bij+cij=aij+(bij+cij)=A+(B+C),

故所给运算+满足结合律，因而G是半群。

分阶段考试模式在近几年理工科专业大学物理课程的实施过程中，总体上取得了较好的教学效果，但也存在一些问题：一是由一次考试变成多次考试，教师批卷任务量增大，可能变为原来的几倍，这个问题可以通过教研室集体阅卷解决，既缓解了任课教师的压力，又增加教师交流的机会，当然适当的教学改革鼓励措施也应该采取；二是随着考试材料的增加，各阶段的考核材料存档占用空间大，不太方便进行查找，这个问题主要出现在班额大的班级，解决这个问题可以适当改变阶段考核中的考核方式，利用网上答题、电子邮件、电子文件、视频刻录光盘等方式收集材料进行存档，即容易查询又节省空间。

∀A∈G,

 

 

故O是G中非零元A的单位元。

∀A∈G,

对比分析相同速度下车内不同测点的噪声频谱曲线，如图2所示，可以看出车内不同测点的噪声，测点2的噪声相对测点1和测点3声压级要小，而且3个测点的噪声频谱均在500～1000Hz的频段内出现峰值，噪声能量相对突出，分析其主要原因，由于测点1和测点3在转向架正上方，受轮轨噪声影响较为明显。

 

故-A是G中非零元A的逆元。

㊲［日］足立幸男:《政府の失敗の是正に向けての会計検査院の役割》，《会計検査研究》18号［巻頭言］1998年第9期。

因此，G对于二元运算+做成一个群。

1)在S中存在一个代数运算•；

 

 

=O。

因此，G对于二元运算+做成一个交换群。

推论1：设P是一个数域，x是一个m×n阶列和幻阵，集合H={x|x∈Pm×n}，则(H,+)是一个交换群。

推论2：设P是一个数域，x是一个m×n阶行列和幻阵，集合I={x|x∈Pm×n}，则(I,+)是一个交换群。

4　积幻阵的代数系统研究

定理3：设P是一个数域，x是一个m×n阶行积幻阵，集合W={x|x∈Pm×n}，则(W,•)是一个群。

证明：对∀A=(aij)m×n，B=(bjk)n×s∈W，C=(ckl)s×q∈W，

 

设D=AB=(dij)n×s，其中

故所给二元运算•满足封闭性

故所给二元运算+在G上满足封闭性

故E是集合W中非零元A的单位元。

(A•B)•

A•(B•C)

随着市场环境的变化和营销实践的迅速发展，营销理念和方式也在发生着变化。20世纪70年代以后，以菲利浦·科特勒为代表的学者更多地将文化与营销结合起来，认为营销活动是一种社会现象。文化因素因成为市场营销和战略管理中十分重要的领域而被重视。文化营销作为一种营销方式，被广泛运用于营销实践中。

定义6[4]：设G是一个群，若对任何a,b∈G有a∘ b=b∘ a，则称G为交换群。

总之，国际商法项目课程教学模式是以职业标准为基础，以课程定位为前提，以课程目标为指南，以课程项目为载体，以课程设计为依托，以课程实施为途径，以课程评价为保障的“标准转换、理实一体”课程教学模式。该教学模式的七个环节环环相扣，递进展开。在第一轮教学过程结束时，课程评价的结果可以在下一轮教学活动中予以运用，实现循环优化。

可怜天下父母心啊。说正事，你母亲反复说，见李碧汝，是她一大愿望。苏楠省了几个字，没敢说是她临死之前的愿望。

E•

 

军庄镇由于富含奥陶系中统马家沟组石灰岩，这种石灰岩是用于制作水泥、电石、溶剂的最重要矿产资源.由于资源开发的需要，曾在这里修筑了通往采石场的公路，该公路横穿阴山沟向斜北翼岩层，形成了现成的、出露较好的地层剖面.

因为双重连加号可以交换次序，所以上述结果是一样的，这就证明了所给二元运算•满足结合律，因而W是半群。

对∀A∈W,都有

O•

 

故O是W中非零元A的逆元，因而W关于二元运算•做成群。

由于矩阵乘法关于交换律不成立，所以W关于二元运算•不做成交换群。

到了宋代，民间养狗已为常见，城市中出现了专门的宠物市场，宋人孟元老《东京梦华录》说，开封府的大相国寺，“每月五次开放万姓交易，大三门上皆是飞禽猫犬之类，珍禽奇兽，无所不有”。市场上还有猫粮、狗粮出售：“凡宅舍养马，则每日有人供草料；养犬，则供饧糠；养猫，则供鱼鳅；养鱼，则供虮虾儿。”

推论4：设P是一个数域，x是一个m×n阶列积幻阵，集合X={x|x∈Pm×n}，则(X,•)是一个群。

第一，企业应强化相关管理意识，承担共享单车回收管理的主要责任。第二，企业应加强与政府之间的合作，合理有效利用政府的资金、技术、人员等支持，同时发挥企业与政府双重作用，更好地建立健全共享单车回收维修管理制度，实现资源更优配置。第三，企业可与相关同行企业合作，降低人力成本，更好的回收损坏报废共享单车，减轻城市交通压力以便方便政府对于城市慢行交通系统管理。第四，企业应建立健全单车回收维修管理体制，为相关维修人员提供学习培训的机会。

推论5：设P是一个数域，x是一个m×n阶行列积幻阵，集合Y={x|x∈Pm×n}，则(Y,•)是一个群。

要加强脚手架的安全保护，禁止闲杂人等随意拆损脚手架架体，设立安全防护牌和安全防护措施，除此之外要设立专门的安全指挥、防护人员。在进行脚手架的拆除时，必须遵循从上到下的的原则，不能上下同时拆除，在拆除之前必须将脚手架上的杂物清理干净。脚手架施工项目要配备专门的管理人员和安全员，管理人员和安全员要不定期的对项目进行检查，而且要进行随时随机的抽查，一旦发现有任何隐患或者问题就要立刻落实并解决，并定期对整体进行一定的整改。

从代数的角度给出了和幻阵与积幻阵关于某种运算的代数系统的成立性，即和幻阵关于加法、积幻阵关于乘法分别构成半群、群，而积幻阵不构成交换群，这为环与域的研究以及进一步推广到和积幻阵的研究奠定了基础。在研究和幻阵与积幻阵的代数系统的过程中，文中采用类比的方法，先是给出了和幻阵关于加法做成半群、群，进而通过比较分析证得积幻阵关于乘法也做成半群、群。关于和幻阵、积幻阵是否构成环、域另文研究。

参考文献：

[1]　　　　郭萍,刘兴祥.和幻阵的定义及代数性质[J].延安大学学报(自然科学版),2017,36(1):21-27.

[2]　　　郭萍,刘兴祥,何敏梅.积幻阵的定义及矩阵性质[J].延安大学学报(自然科学版),2017,36(3):72-74.

[3]　　　杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2011.

[4]　　　张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978:6-7.

[5]　　　陈婷婷.群概念的理解水平研究[D].福州:福建师范大学,2016.

[6]　　　黄逸飞,易忠.一类非交换群环的代数结构[J].数学的实践与认识,2016,46(11):255-261.

[7]　　　洪加威,唐守文.关于有限群、环、域的判定算法[J].数学进展,1985(3):234-238.