优美树的扩充

0 引言

关于优美树的讨论是数学家 G.Ringel在 1963年和1966年A.Rosa的一篇论文中提出的，在之后很多数学家在这方面作了大量的工作；并且于1996年由A.Rosa提出了著名的优美树猜想（在文献[1]的第十五个未解决的问题）；几十年来国内外许多学者从各方面研究此问题[2-11]。本文在前人基础之上进行讨论，扩大了优美树的种类。文中所讨论的图都是无向图，分别表示图G的顶点集和边集。未给出的记号和定义见参考文献[9]。

定义1 一棵有n个顶点的树T,若存在集合{0,1,2,3,4,… ,n -1}分配给它顶点的一个标号为θ，使得由(uv)=定义的边诱导标号分配给各边以不同的标号，则称树T是优美的。

定义2 两棵树在根点处用一条线相连，形成的图称之为树的根积。n棵树T的根积记为，另外定义中的子树按逆时针标上，并记根点u的那棵树为（见图 1）。

定义3 n棵树T的根点(即对称点)同时与一个顶点连接，形成的树称为n棵树T的根和，记为nT。

定义4 G是一个非空集合，优美树，且优美树T对于加法、乘法具有封闭性。单位元为空图，逆元为 ，则称G为一个优美树群。

乘法即在根点处用一条直线相连（见图1）。加法即在任意多棵同构树之间添加一个原点然后分别与根点连接（见图2）。

  

图1 n棵树T的根积记为Fig.1 The root product of n tree T is recorded as

  

图2 n棵树T的根和记为Fig.2 The root sum of n tree T is recorded as

定义5 一棵树存在一条割边，能使割边分开的两部分完全一样，则称这样的割边为完全割边。

定义6 一棵树存在一个这样的一个割点，能使割点分开的左侧和右侧完全一样，则称这样的割点为完全割点。

定义7 一棵树在某一顶点或者在某一边进行一刀切，使得分成两边的树完全重合在一起，则称这样的树为完全对称树（见图3，图4）。

  

图3 关于边的完全对称树Fig.3 On the complete symmetric tree of edges

  

图4 关于点的完全对称树Fig.4 On the complete symmetric tree of points

1 主要结果及其证明

定理1 是优美树。

证明 树T的顶点数为m。树T的优美标号为f，边集为E。的顶点标号为。

例如，体育项目“掷铅球”是一项力量运动，在教学掷铅球的技术动作时，体育老师不仅要演示手托铅球，身体微倾，用力蹬转，使劲掷出的动作要领，并且要边讲解边示范，还要关注铅球出手后的飞行轨迹，对于这一系列的动作拆解，老师若运用标准铅球作示范演示，无论是老师的体力还是学生的安全都得不到保障，且容易出现动作变形，飞行偏离正常的轨迹，基于标准铅球较重的原因，老师不妨用较轻的实心球来取代，让学生在老师的反复讲解和示范演示中掌握掷铅球的动作要领，也可避免老师因体力不支而出现示范动作变形的情况。

下面给出 的标号：

 

对于中n为偶数时；

 

下面证明θ是优美标号。

事实上，根据上述标号可知，树的顶点标号满足 ，，有。

为方便起见，记树 边的诱导标号集合为根点组成的边诱导标号集合为树边的诱导标号集合为，即

 

证明 在代数中任意一个多项式都可以表示成

 

其中u满足是奇数；v满足是偶数。

 

其中 u 2满足是奇数；v满足是偶数； u1是 T1的根点。

当,… 中只有一个不为0时，由定理1和2知定理成立。

 

其中， u 满足是奇数；v满2足是偶数； ui是 Ti的根点。

 

证明 充分性：

 

下面给出的标号：

 

故θ是优美标号，即是优美树。

取N=max{N0,N1,N2},则对任意的ε>0,存在N,使得m,n>N时,令zm=xmk, zn=ynl,则有ρ0(zm,zn)=ρ0(xm,yn)=yn∧(1-xm)<ε，当m,n→∞时,有b∧(1-a)<ε。此时b=0或a=1,这与a

对于中n为奇数时；下面给出优美标号，证明同上。

 

 

所以是优美树。

定理2 是优美树。

高职院校为社会的发展提供了大量技术应用型人才，同时也是社会发展的重要组成之一。随着教育改革的不断开展，不仅提升了高职院校的办学质量，同时也展示出了许多与社会发展不适应的地方。所以在高职院校发展中，就要做好教育研究工作，创新管理方式，满足发展要求。

所以每条边互不相同且

,w是原点。

北美地区2017年的核电装机容量为113.5 GWe。该地区核电容量在2030年、2040年和2050年的高值情景预测值分别为107 GWe、94 GWe和107 GWe，低值情景预测值分别为78 GWe、36 GWe和36 GWe。

 

下面证明θ是优美标号。

联盟成立以来，不断完善规章制度，规范工作程序，加强执行力度，提高机构自身能力，共发布14项制度文件（见表2），保证联盟各项工作有序开展。

事实上，按上述标号给每个顶点标号，可得出：

 

定理4 在优美树群中的元素合成是一棵新的优美树的充分必要条件是 每个组成部分都是优美的。

 

下面证明每条边是互不相同的。

证明同定理1。

对于nT中n为奇数时；

下面给出优美标号，证明同上。

 

 

定理3 G是一个优美树群。

若一个项集中包含多个关系的项，其频数的定义一般会被定义为项集在连接后的查询表中的出现次数。这种定义方式很容易导致统计偏斜问题。

证明 由定理1知一棵优美树T在群中的乘法具有封闭性。由定理2知在群中的加法也具有封闭性。群中的单位元是空白图（即没有点和边的图）用记号 T 0表示。群中的逆元是，故优美树对加法与乘法构造的集合是一个优美树群。

同样标记每条边的诱导标号集=，有

则

 

则在优美树群中任何一棵新的优美树都可以分解成

 

证明 必要性：

因为，，…， 是优美的。

明代闽东银矿很多，参合弘治《八闽通志》、正德《福州府志》、嘉靖《建宁府志》、乾隆版《福宁府志》之记录，有如下十一处：古田县的宝兴场，[30]福宁州的玉林场、钱马坑、小叶坑、黄海梅坑（应为《福宁府志》中的黄海银坑、黄社银坑，），宁德县的宝丰场、新兴坑，[31]黄海银坑、黄社银坑，福安县的刘洋银坑、上坪银坑，[32]寿宁县的官田坑银坑。[33]等。此外，《寿宁待志》记载：寿人所用皆苎山之银，故多低价，然大石、蓝天、淳池（纯池）、杨梅弄（洋尾弄）亦多倾煎。[34]

综上所述，城市道路桥梁的施工过程中，要从多方面进行考虑，对管理工作当中的理念以及方法的应用，都要能满足实际的需求，保障施工的整体质量控制效果良好呈现。道路桥梁基础设施建设，有利于城市化的发展，未来的基础设施建设中，要求会愈来愈高，这就需要注重施工优化措施的实施，保障整体工程质量。

当,… ,中至少有两个不为0时，不妨假设不等于0。

则证明构成的是一棵优美树。

由定理1的优美标号知，每棵子树的根点分别为 , ,… , ，原点为。

结合定理1，定理2的标号知，所要证明的问题转化成(… ,,w)的标号是m优美标号序列，

 

又因为这些点构造而成的直径是为5的树，直径为5的树是优美的[3]，故这些根点标号构成了一个m优美标号。所以在由加法的标号知，形成新的树是优美的，其中根点必然与原点连接。

下面证明：

 

由群中的加法知：在图中添加一些直径为2的子树与根点邻接，整个图就构造成直径为5的树。由直径为5的树是优美树知，是优美树，必要性证毕。

其中， u满足是奇数；v 2满足是偶数；是根点。

在产品设计过程中，为消除产品的潜在缺陷和薄弱环节，防止故障发生，以确保满足规定的固有可靠性要求。因此，应对产品进行必要的可靠性设计。可靠性设计是可靠性工程的重要组成部分，是实现产品固有可靠性要求的最关键的环节，是在可靠性分析的基础上通过制定和贯彻可靠性设计准则来实现的。在产品研制过程中，常用的可靠性设计原则和方法有：元器件选择和控制、热设计、简化设计、降额设计、冗余和容错设计和环境防护设计等。在悬浮控制器工程化应用过程中，简化设计、冗余和容错设计在提高系统可靠性方面发挥了重要作用。

虽然如此，由于我国婚姻家庭社会工作处于起步阶段，与婚姻家庭服务业迅猛发展的趋势和发达国家的现状相比较，我国婚姻家庭社会工作的标准化仍然存在一些问题[1]。主要表现在：婚姻家庭社会工作服务标准短缺，不能准确满足当前快速发展的服务需求；现有婚姻家庭社会工作服务标准的总体水平偏低，部分标准内容简单，缺乏先进服务内涵和管理理念；现行服务标准的实施效果欠佳，标准化工作的动力机制、监督机制有待进一步优化。[1]

由定理1知道任意直径为或者5的树经过加法和乘法法则形成的树是优美的。现在在优美树群中把这样构造而成的树进行分解，看分解而成的每一部分的子树是否是优美的。定义是空白树（没有点和边的图）。对以下两点进行讨论：

(1) 如果这棵树在优美树群中不可以分解的（即在加法和乘法下它不能拆分），那么的组成就是它本身。那么以其本身形成的

 

故每一部分是优美的。

(2) 如果这棵树在优美树群中在加法和乘法下可以分解，因为是一棵优美树，则可以把按照优美群中的加法和乘法进行分解必然可以得到

 

由分解方法知每个部分显然是优美的。故定理成立。

定理5 如果一棵树能被“一刀切”，那么这棵树是优美的。

再次，目标一致于过程。共产主义是共产党员的终极理想和最高纲领，是人类历史上最进步的社会制度，是解放全人类的唯一科学的道路。而实现这一远大理想，需要一个长期的奋斗过程，需要若干代人前赴后继，不懈奋斗。在实现这一伟大理想的过程中，必将会经历社会主义的若干阶段。这也就意味着共产主义理想会在不同的阶段包含很多具体阶段性的理想。当前，中国特色社会主义就成为共产主义理想在这一时期的阶段性理想。所以说党员理想信念是目标和过程的统一。

证明 如果一棵树存在完全割边或者完全割点，对其边进行切割或者对其割点进行切割，就会形成两个部分，每个部分的直径都是一样的且每一部分的直径比切割之前树的直径要小。如果这样的树能够一直切割下去最终得到每一部分的直径小于等于 5，则称原始的树（即未切割之前的树）是优美的。现分四种情况给出其证明。

1）计算正余弦时，由于CORDIC算法计算正余弦时不需要考虑把X、Y坐标输入值而仅看重角度的输入值，所以仅需要对角度的输入值进行调整，传统CORDIC算法将X、Y、Z的迭代初值分别设为k、0、θ，而本文为了能使正余弦和反正切的迭代运算单元折叠，所以将X、Y、Z输入值做了调整，把X迭代初值设为0，根据θ输入值的正负分别对Y、Z的迭代初值进行调整，如式（11）所示，这样得出的结果仍和传统CORIDC算法一样。

情况⑴ 原始树T仅存在完全割边。在这里我们规定每切割一次形成的子树（两部分是完全一样的）记为 1T，切割k次，形成的子树记为。当进行k次切割过后，形成子树为且其直径小于等于5，则称树T是优美的。因为进行次切割过后，树T被分成了个完全相同的部分 ，因为是优美的[3]，由定理1知是优美的，又，则是优美的。则依次类推出是优美的，又，则T是优美的。

情况⑵ 原始树T仅存在完全割点。原始树T进行k次切割过后，树T被分成了个完全相同的部分 Tk，若 Tk的直径小于等于 5[3]，则称树T是优美的。由定理2知是优美的，又 ，则是优美的。则依次类推出优美的，又 ，则T是优美的。

要想在数学课堂中渗透法制教育，教师就要认真钻研教材，充分挖掘教材中潜在的法制教育元素，寻找法律知识的切入点和渗透点，既不能把数学课上成法制课，也不能漠视教学内容中蕴涵的法制教育因素。要根据数学学科的特点和教材内容，在教学中恰当地把握分寸，潜移默化地进行渗透。如：在教学人民币单位“元、角、分”时，可一边指导学生认识不同面值的货币，一边渗透《中华人民共和国中国人民银行法》和《中华人民共和国刑法》第一百七十二条。让学生明白：如何正确使用和保护人民币，如何鉴别假币，如何进行等量交换，公平交易，诚实做人。

情况⑶ 原始树T不可能同时存在完全割边和完全割点。因为树的顶点数与边数的关系为n =m+1，其中n为树的顶点数，m为树的边数。n,m 互为奇偶的，故不可能同时存在完全割点和完全割边。

情况⑷ 原始树T第一次切割时存在完全割边（完全割点），切割依次过后存在完全割点（完全割边），进行k次切割过后，形成子树为 Tk且其直径小于等于5，则称树T是优美的。由定理1和定理2及以上情况⑴，情况⑵知这种情况是成立的。

综上所述，为判断一些树是优美树给出了判断方法。

参考文献：

[1]Burzio M, Ferrarese G. The subdivision graph of a graceful tree is a graceful tree[J]. Discrete mathematics,1998, 181(1-3): 275-281.

[2]Aldred R E L, McKay B D. Graceful and harmonious labellings of trees[J]. Bull. Inst. Combin. Appl, 1998, 23:69-72.

[3]Hrnčiar P, Haviar A. All trees of diameter five are graceful[J]. Discrete Mathematics, 2001, 233(1-3):133-150.

[4]ZHAO S H I L I N. All trees of diameter four are graceful[J]. Annals of the New York Academy of Sciences, 1989, 576(1): 700-706.

[5]Huang C, Rosa A. Decomposition of complete graphs into trees[J].Ars Combinatoria,1978（5）:23-63

[6]Bloom G S. A Chronology of the Ringel-kotzig Conjecture and the Continuing Quest to Call All Trees Graceful[J].Annals of the New York Academy of Sciences, 1979, 328(1): 32-51.

[7]Body J A , Murty u. Graph Theory with Application[M].New York:Elsevier,1976.

[8]Huang C. Further results on trees labellings[J].Utilitas Math.,1982;21C:31-48

[9]张先迪 ,李正良.图论及其应用[M]. 北京:高等教育出版社,2005.

[10]喻卫,刘二根. 一类树 Tk1⊕k3的优美性[J].宜春学院学报,2013,35(6）:10-11,67.

[11]丁宗鹏, 喻卫, 徐保根. 关于图的符号路 (点) 控制[J].宜春学院学报, 2012, 34(4): 4-6.