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关于广义Taylor 中值定理中间点函数可微性的进一步讨论

更新时间:2009-03-28

Azpeitja[1]研究了Taylor公式“中间点”的渐近性质。同时,Jacobson[2]建立积分中值定理的类似的结果。在这之后,一些作者研究各种中值定理“中间点”的渐近性质,可见文献[3-18]。最近,我们在文献[19-26]中研究了包括广义Taylor中值定理在内的几种中值定理的“中间点函数”的一阶可微性。其中文献[18]研究了 Cauchy中值定理“中间点函数”

总而言之,低年级学生在学习生字方面仍处在起步的时期,还不具备较强的自主识字能力。而采用微课教学法,就可以让他们更好地学习生字,使学生能够充分发现汉字当中蕴藏的魅力,领悟汉字的神奇,提高他们识字的效率,以推进我国教学事业的整体发展。

 

x = a 处的可微性且(a)=。文献[19]和文献[20]在一定条件下分别建立了泰勒公式和广义Taylor中值定理的“中间点函数”x = a 处的可微性且文献[21]在一定条件下建立了 Cauchy中值定理“中间点函数”x = a 处的可微性且文献[22]建立了广义中值定理“中间点函数”( x )

x=a处的可微性且文献[23]建立了高阶 Cauchy中值定理“中间点函数 ”x= a 处的可微性且文献[24]利用比较函数概念, 建立了泰勒公式“中间点函数”的渐近性进而推出了文献[19]的可微性结论。文献[25]建立了积分中值定理“中间点函数”x=a处的可微性文献[25]建立了第二积分中值定理“中间点函数”x = a 处的可微性且

本文的目的是进一步研究广义 Taylor中值定理“中间点函数”的可微性,在一定条件下获得了广义Taylor中值定理“中间点函数”x=a处的可微性且显然此结果推广了文献[18-21]中的相关结果(事实上取α= 0 ,n= γ = 1 便得文献[18]中的结果;取α = 0 ,γ = λ ,g( x) = ( x - a )n便得文献[19]中的结果;取 α= 0 ,γ= λ 便 得 文 献[20]中 的 结 果 ; 取α = 0 ,γ = λ ,n = 1 ,便得文献[21]中的结果) 。

广义Taylor中值定理ab是实数且 abf, g。如果函数f满足

(i) 在上具有直至 n - 1阶连续导数;

(ii) 在(a , b)内存在n阶导数且,则存在一点 c ∈(a , b),使

1.用于治疗缺铁性贫血的常用药物硫酸亚铁片,常被制成包衣片,是为了________________________________。

你妹:《天龙八部》里,每当段誉看上一个女孩,他爹总会冲出来跟他说:“你妹啊!”同时,“你妹”在网络上出现,最初因网友说梦话“玩儿你妹去”而流行起来。别人对你说“你妹”其实只是一句玩笑话,是幽默的词语,大多数人说“你妹”时不含恶意。

 

IR上一区间, aII上一点,函数。如果函数fgIn次可微,则由广义Taylor中值定理,,在以 a , x为端点的开区间上,存在一点,使

 

优质旅游发展是新时代旅游目的地形象的重要载体。当前旅游规划不仅局限于对景区等旅游目的地的规划建设,对于旅游目的地城市形象以及配套服务设施的规划建设也同样有较高要求。优质旅游发展并不等同于简单的优质旅游服务,它是全域旅游发展到一定阶段的产物,包括优质的旅游治理机制、旅游综合服务、旅游目的地环境等。旅游市场需要高端的规划设计人才,来满足旅游者的更高消费需求。

存 在 一 实 数, 使,有且 是单射的。

因为 ,,所以。于是可定义“中间点函数”显然在点x=a连续。

容易证明下列引理成立。

引理1IR上一区间, aI是区间I的左端点,In次可微且

 

其中A是一常数, α是实数α>-1,

注1 因为 aI 是区间I的左端点,所以在点 a处连续是指在点 a右连续。由于因此在点a右连续。

1 主要结果

定理2IR上一区间, Ia∈ 是区间I的左端点,函数满足下列条件:

(i) 函数 fg在区间I上有n阶导数且

 
 

其中A,B是非零常数,α, β是实数α>-1,,且αβ,则下列结论成立:

存在实数,使,且

 

有下列性质:

 
 

证明 由定理2条件和引理1,有

在定理3中取α= 0 ,γ= μ ,则 A = ,。由引理1得

 
 

a) 由(11)和(12)即得证。b) 由引理1,有

 

结论 推出。定理2证毕。

如果α=β,则定理2不再成立,但有:

1.4 衰弱指数(FI) 明确器官功能缺陷与临床结果相关性 基于健康缺陷理论,测评不健康指标在所有指标中比例,常用于预期寿命计算和流行病学健康评估。FI≥0.25为衰弱,FI≤0.12为无衰弱,0.12~0.25为衰弱前期[14-15]。在一项纳入33 706名60岁以上普外科患者的研究显示,随着FI增加,伤口发生率与感染率随之增加(P<0.001),并认为FI是急症手术患者术前衰弱评估的有效方法[16]。该评估需要专业人员进行,在一定程度上限制了临床应用。

定理3 IR上一区间,aI 是区间I的左端点,函数满足下列条件:

(i) 函数 fg在区间 I上有 n阶导数且

 
 
 

有下列性质:

c) 对于任意 ,有

 

d) 存在极限

3.愚昧麻木的犹大庸众戏弄耶稣,称他是“世界的王”,实际表达的意思却是:耶稣是一个十足的疯子!面对这群愚昧而残忍的庸众,耶稣心里有的只是悲悯。他发声道:“父啊,赦免他们!因为他们所做的,他们不晓得。”而那群庸众根本就不懂耶稣的话意;夏瑜向愚昧的庸众宣传说“大清天下是我们大家的”,结果,庸众们众口一词,认为夏瑜是疯了。阿义打了他耳光,夏瑜却对他说“可怜可怜”,同样,晚清的这群愚昧麻木的庸众根本就不懂夏瑜的“可怜”的含义。

 

x=a 可微且

 

证明 首先指出定理3 的条件保证了γα≠。事实上, 若γα=, 则

 

与此极限值相矛盾,故

 

因 此 存 在 一 实 数 δ>0, 使,有

2° 因为,所以上严格单调,进而是单射, 因此存在唯一函数, 使得(11)成立。

由上面等式,可推出

 

其中,。由条件(ii),得

 

其 中,。 把(14)-(17)代 入(13),并简单运算得

 
 

结论推出,定理3证毕。

注2 由于中的条件,只保证存在唯一函数,使(11)成立,因此在定理 3中如果 α =0,γ =1,则该条件可以用 代替。事实上, 当 α =0,γ =1时,则 。由引理1得

 

进一步,如果函数I上可微,则由洛必达法和导数极限定理,有

 

由此推出

 
 

从而是单射,于是当 α =0, γ=1时由定理3可得如下结果。

定理4[20]R上一区间, aII的左端点。f,g:IR 是两个函数,满足下列条件

(i) 函数fgIn +1次可微;

(ii) 对于所有

(iii) ,则下列结论成立:

(4)热分解重镁水溶液过程中,无定形物首先转化成亚稳态的棒状晶体,溶液浓度或热解时间等条件发生改变时,棒状晶体表面或整个棒状结构会发生溶解重新形成无定形颗粒,最终形成多孔棒状4MgCO3·Mg(OH)2·3H2O。

定理1[20]IR上一区间,aII上一点. 函数f, g: IR。如果函数fgIn次可微,则存在一函数 c :,使得(2)成立。此外如果是单射的,则点是唯一的。

2° 对于任意 ,存在唯一函数,使

 

“十二五”期间,以中小企业为主体的民营经济增加值年均增速达14.6%。进入“十三五”新形势新常态下,一些长期积累的制约民营经济发展深层次矛盾进一步显现,增速虽有所放缓,但仍保持高于地区生产总值增长,占比持续提升。2017年全省民营经济完成增加值7798.2亿元,比上年增长10.3%,占地区生产总值比重达到47.2%,拉动全省经济增长4.8个百分点,对全省经济增长的贡献率达50.5%。

如果不是单射的,则使(1)成立的点,一般不是唯一的。如果对,在以 a , x为端点的开区间上选取一个 cx,使(1)成立,那么也可以定义函数 c : I - ,使(2)成立。

综上所述,喉源性咳嗽患者的局部病理改变与中医辨证分型有关,通过对患者局部病理改变进行相应检查,可从整体辨证认识患者病情,有利于为喉源性咳嗽的中医辨证论治提供可靠指导意见。

 

有下列性质:

e) 对于任意,有

 

f) 存在极限

 

x=a 可微且

(1)区域地层标志:太古界太华群绿岩层是该矿床的主要“矿源层”,但矿体主要赋存在熊耳群中,作为覆盖太华群基底之上的盖层,区内广泛分布,可以作为区域找矿的间接标志之一。

 

下面我们指出由定理3可推出文[20]中的定理2。

函数定义为

选取我院在2016年4月—2018年4月所收治的共计346例老年患者作为研究对象,按照电脑分号分为对照组和观察组,对照组共计173例,男82例,女91例;年龄65~89岁,平均年龄(73.2±2.3)岁;病程2~13年,平均病程(7.3±1.3)年。观察组173例,男83例,女90例;年龄62~88岁,平均年龄(74.3±3.5)岁,病程3~11年,平均病程(6.5±2.4)年。入选患者均经医院伦理委员会批准,两组患者在年龄、性别及病程等方面差异不具备统计学意义(P>0.05),因此具有可比性。

采用SPSS 13.0软件对数据进行分析处理,计量资料以(均数±标准差)表示,采用t检验;计数资料以(n,%)表示,以P<0.05表示差异具有统计学意义。

 

由引理1得

 

进一步如果函数I上连续可微,则由洛必达法和导数的定义,有

 
 
 

于是当α= 0 ,γ= μ 时由定理3可得如下结果。

定理5[20] IR上一区间, aI 是区间I的左端点,函数满足下列条件:

(i) 函数 fg在区间 I上有n阶连续导数且

(ii)存在实数α>0,使

 

存在实数,使,且,有

结果 术前3 h、手术后3 h和24 h患者在放松前后心率、血压收缩压和舒张压比较差异有统计学意义(P<0.05);术后48 h患者在放松前后心率、收缩压及舒张压比较差异无统计学意义(P>0.05)。结论 通过对ERCP患者实施放松疗法,能稳定患者的心率和血压,帮助患者安全度过围手术期。

, 其中

 

若再设,, 则对于任意 , 存在唯一函数,使

 

函数定义为

 

有下列性质:

g) 对于任意,有

 

h) 存在极限

 

x=a 可微且

 

需要指出的是由于是区间I的左端点,因此本文所涉及函数在点a的导数均为右导数。

参考文献:

[1]Azpeitja A G. On the Lagrange remainder of the Taylor formula[J]. Amer. Math. Monthly, 1982, 89(5): 311-312.

[2]Jacobson B. On the mean value theorem for integrals[J].Amer. Math. Monthly, 1982, 89(5): 300-301.

[3]张树义. 广义Taylor公式“中间点”一个更广泛的渐近估计式[J]. 数学的实践与认识, 2004, 34(11): 173-176.

[4]Duca D I. A note on the mean value theorem[J]. Didactica Matematicii, 2003, 19: 91-102.

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[6]Powers R C, Riedel T, Sahoo P K. Limit properties of differential mean values[J]. J. Math. Anal. Appl. 1998,227: 216-226.

[7]张树义,赵美娜,郑晓迪.积分中值定理中间点的渐近估计式[J]. 北华大学学报:自然科学版, 2016,17(4):448-454.

[8]万美玲,张树义. 二元函数 Taylor公式“中间点”的渐近估计式[J]. 鲁东大学学报:自然科学版,2016, 32(2):1-4.

[9]张树义. 中值定理“中间点”的几个新的渐近估计式[J].烟台师范学院学报:自然科学版, 1995,11(2):109-111.

[10]张树义. 关于中值定理“中间点”渐近性的若干注记[J].烟台师范学院学报:自然科学版,1994,10(2): 105-110

[11]林媛, 张树义. 广义泰勒中值定理“中间点"当 x→∞时更广泛的渐近估计式[J]. 南阳师范学院学报:自然科学版,2016, 15 (3): 1-5.

[12]张树义. 积分中值定理“中间点”更广泛的渐近估计式[J].南阳师范学院学报:自然科学版,2005, 4(3).15-19.

[13]张树义. 广义中值定理当m≠n时“中间点”的渐近估计式[J]. 南阳师范学院学报:自然科学版, 2006, 5(12):20-22.

[14]张树义. 关于中值定理“中间点”渐近性研究的新进展(I)[J]. 南都学坛,2000(6): 13-20.

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[16]张树义. 中值定理“中间点”当x→+∞时的渐近性态[J].河北师范学院学报:自然科学版,1997,(3):4-7.

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[18]Duca D I, Pop O. On the intermediate point in Cauchy's mean-value theorem[J]. Math. Inequal. Appl., 2006, 9:375-389.

[19]赵美娜,张树义,郑晓迪. 泰勒公式“中间点函数”的一个注记[J]. 鲁东大学学报:自然科学版,2016,32(4):302-306.

[20]赵美娜,张树义,郑晓迪. 广义 Taylor中值定理“中间点函数”的性质[J]. 南通大学学报:自然科学版, 2016,15(3): 80-85.

[21]李丹,张树义,郑晓迪. Cauchy中值定理“中间点函数”的一个注记[J]. 南阳师范学院学报:自然科学版, 2016, 15(12): 5-11.

[22]张树义,林媛,郑晓迪. 广义中值定理中间点函数的性质[J].北华大学学报:自然科学版, 2016, 17(6) 714-719.

[23]张树义,丛培根,郑晓迪. 高阶 Cauchy中值定理中间点函数的性质[J].北华大学学报:自然科学版,2017, 18(1):19-24.

[24]李丹,张树义. 关于泰勒公式中间点函数的可微性[J].井冈山大学学报:自然科学版, 2016, 37(6):11-14.

[25]刘冬红,张树义,丛培根. 积分中值定理中间点函数的性质[J]. 北华大学学报:自然科学版,2017, 18(4): 434-438.

[26]李丹,张树义,郑晓迪. 第二积分中值定理中间点函数的性质[J]. 南阳师范学院学报:自然科学版, 2017, 16 (6):5-8.

 
张芯语,张树义
《井冈山大学学报(自然科学版)》2018年第02期文献

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