Taylor 中值定理余项的统一及证明

1 引言及主要引理

文献[1]对 Taylor公式“中点函数”的可微性进行了研究，在附加了单调的条件下，证明了“中点函数”的可微性，并得到了该函数在a的导数公式，推广了渐进性的相关结论；文献[2]进一步推广了这一结果，讨论了广义Taylor中值定理“中点函数”的性质，得到了更加一般的一个结；文献[3]将微分中值定理和积分中值定理统一在一个表达式中，并对已有成果进行了推广；文献[4]讨论了推广之后的微积分中值定理“中间点”的渐进性，得到了一个一般性的结论。

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本文将继续对Taylor中值定理进行推广，得到了一个更具一般性的余项形式，对Taylor中值定理的 Peano余项、Lagrange余项、Cauchy余项、Schlomilch-Roche余项、积分型余项和广义积分型余项等六个余项进行了统一表述。讨论了该余项“中间点”的渐进性，推广了已有的一些结论，可作为文献[1-4]的补充和完善。文中需要几个重要引理，现引述如下：

引理1[5] 若函数 f ( x)在a的某邻域内存在n＋1阶导数，且存在实数α≥0，对∀x∈有

白参菌。白参菌一直为野生品种，生长于热带阔叶杂木腐质上，不利于采收，目前国内还没有成功的人工种植技术。白参菌体质韧、味道清香、营养丰富，是一种药食两用的珍稀菇菌，经常食用有清肝明目、健胃润肠、抑制小儿盗汗等功效[3]。

 

引理2 若函数φ(x)在a的某邻域内连续，且存在实数，对∀x∈有

 

其中， = 是Beta函数。

3)当 p = 0 时，这是Cauchy余项；

引理3[3] 若函数 在闭区间上存在n+1阶导数，函数在闭区间上存在阶导数，且，，则至少存在一点，使得

目前我国的银行信息化管理水平已经得到了进一步的提升，但是在具体信息化管理过程中还有着一定的问题。因此各银行的管理人员还需要在已有数据库以及业务信息化管理系统的基础上，来通过计算机信息技术对自身的经营管理能力进行不断的优化与完善，这样才能够形成一个完善合理的银行管理体系，从而真正运用计算机管理技术来进行银行的有效管理。因此说各银行还需要积极应用信息化管理技术来进行银行信息管理系统的更新与完善工作，并促使该银行的决策能力以及风险抵御能力得到进一步的提升。

 

2 主要结果

定理1 若函数在a的某邻域内存在n＋1阶导数，函数在 内连续，则对于，，至少存在一点在a与x之间，有

目前军工科研单位对固定资产投资项目不够重视，科研、管理骨干往往都去参与科研项目，固定资产投资项目建设团队从人员配置到专业水平均都有所差距。项目建设团队缺乏懂管理的技术人员、懂技术的管理人员、对法律法规熟识人员、有经验的建设实施人员，人才的匮乏和专业素质不高导致项目建设质量不高。

 

证明 对于，(不妨设x＞a，对于x＜a的情形同理可证)，构造函数

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4) 当 p = q - 1时，，这是Schlomilch-Roche余项，此时。

 

 

（一）高中政治教学偏向应试。高中政治教学为应试服务，教学内容多与考试内容相关，对于学生品格培养的内容讲解过少。对于政治的学习，教师过度要求学生背诵，而对于教学内容没有进行深度的讲解，这与促进学生全面发展相矛盾。

拓扑分析功能模块的应用，主要是从地理信息管理模块中提取有关电网结构的信息、资料，根据线损管理系统的实际需要，通过分析、处理将所得资料转化为相应的网络结构数据，同时将其备份、存储至数据库中，从而为各功能模块、应用软件提供可靠数据。

 

这是一个更具有一般性的余项形式，这里是实数，且有以下特殊形式：

(ii) 在开区间内可导；

(iii)

由 Rolle定理，存在一点 ，使得，而

 

综合(5)-(9)，便有

 

整理上式，并注意到，便有

 

注 在定理 1中，当时，积分是定积分，结论成立。而当时，积分 是反常积分，且以t = x为瑕点的瑕积分，而由于在内连续和 p∈(-1 , 0)，容易证明反常积分 是收敛的，结论仍然成立。后续的定理中存在同样的问题，不再赘述。

以上证明过程中，没有考虑的非零性，即当 有零点时，不影响结论的正确性。若时有 时，便有如下结论。

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是Taylor中值定理余项的一个推广，它涵盖了Taylor中值定理所有余项的一般余项形式。

 

(i) 在闭区间上连续；

1. 当≡ 1 时，，包含了以下四种余项形式：

1) 当p = n时，是Lagrange余项；

2)当 p = n时，o(( x - a )n)，这是Peano余项；

基层党务工作者既是基层党建工作的实践者，又是单位部门行政领导的助手、联系干部职工的桥梁和纽带。党务工作虽然务虚的多，但党务工作者必须务实，具体到基层生产单位，就是要把党务工作扎扎实实地与基层生产特点紧密结合，坚持“服务生产”、“服务和谐”的工作理念，努力把党务工作全过程渗透到日常生产和管理中，切实发挥党务工作对生产的促进作用。

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由于函数在内存在n＋1阶导数，函数在内连续，所以函数和在可导，且容易计算得

2.当时，

现考查函数，

 

这是一个积分型余项的推广形式，当 p = n时，

 

定理2 若函数 在a的某邻域内存在阶导数，函数在 内连续，且，，则对于，，至少存在一点在a与x之间，有

下面讨论，由公式(11)中余项 所确定的“中间点”的渐进性。

定理3 若函数在a的某邻域内存在n＋1阶导数，函数在内连续，，，且存在实数，，对

 

证明 由于函数在内存在 阶导数，对于实数α≥0和，构造函数

 

另一方面，由定理1和引理2（注意到时

 

 

综合式（13）和式(14)，有

 

所以，

 

这一渐进性的结果比文献[1-5]的结果更具有一般性和广泛性。

当p= m∈ N 时，有以下推论：

推论 若函数 在a的某邻域内存在阶导数，函数在内连续，，，且存在实数α≥0，β≥0，对∀x∈有则对于且m≤n，由引理3的(3)式所确定的“中间点”ξ满足

 

这一结果与文献[5]的定理1一致，这也表明(12)更具有一般性。

另外，当定理 3中的参数n，p，α，β取不同的值时都会有一些特殊形式的结果，这里不再叙述，可以参考文献[1-8]。

参考文献：

[1]李丹,张树义.关于泰勒公式中间点函数的可微性[J].井冈山大学学报: 自然科学版,2016,37(6):11-14.

[2]赵美娜,张树义,郑晓迪. 广义 Taylor 中值定理 “中间点函数” 的性质[J]. 南通大学学报:自然科学版, 2016,15(3):80-85.

[3]杜争光.微积分中值定理的统一及推广[J].荆楚理工学院学报,2011,26(2):34-37.

[4]杜争光.微积分中值定理“中间点”的渐进性的统一[J].湖南工程学院学报:自然科学版,2012,22(3):60-62.

[5]杜争光.广义Cauchy中值定理“中间点”的渐进性[J].数学的实践与认识,2015,45(13):268-272.

[6]赵美娜,张树义,郑晓迪.泰勒公式“中间点函数”的一个注记[J].鲁东大学学报:自然科学版,2016,32(4):302-306.

[7]布仁白乙拉,苏雅拉图.某些含有Dini导数的微分中值定理“中间点”的渐近性[J].井冈山大学学报:自然科学版,2017,38(2):25-29.

[8]刘冬红,张树义,郑晓迪.二元函数柯西中值定理“中间点”的渐近估计式[J].井冈山大学学报:自然科学版,2017,38(4):13-17.