基于分数阶微分方程的边值问题求解应用分析*

0 引言

现代数学中一个非常有价值的研究方向就是分数阶微分方程的边值问题，并且分数阶微分方程的边值问题的求解和应用具有重要的研究价值，它是微分方程中的重要一环.在处理、分析和研究非线性积分方程时，越来越多的学者进入到分数阶微分方程研究中，因此在这样的研究氛围中，分数阶微分方程的边值问题研究价值就自然体现出来，这也是学者们研究的主要方向.目前非线性泛函分析在微分方程和积分方程系列中具有重要的意义，这是国内外相关人员的重要研究方向，也体现出对分数阶微分方程的边值问题研究为后续实践工作的执行具有重要的意义.

1 分数阶微分方程概述

1.1 分数阶微分方程的特点

通常学者们在分析和研究分数阶微分方程的边值问题基本上都会用分数阶积分、导数等理论方法将其转变为相应的积分方程，再通过求解积分方程来解决相应的问题.一般情况下，要获得解的相关性质需要运用Green函数的基本性质与不动点定理进行结合，但是奇异性并不能够带来较好的解决方案[1].第一，因为边界问题所处的条件是不同的，这导致在非线性方程中的线性状态也是不同的.第二，每个学者研究的内容不一样，因此研究选用的方法也不一样；第三，在选择合适空间、合适的逼近序列时以及难易程度上，都会有很大的差异，这也就导致了奇异性难以适合大多数的实际运用.分数阶微分方程能够面临着不同的研究数据时，都可以通过边值问题解决问题，以此来满足绝大部分的实际问题，它具有广泛性和包容性的特点.

补充试验：抗体确证试验无HIV特异性条带产生，报告HIV-1/2抗体阴性；出现条带但不满足诊断条件的报告不确定，可进行核酸检测或2-4周后随访，根据核酸检测或随访结果进行判断。补充试验HIV-1/2抗体阳性者，出具HIV-1/2抗体阳性确证报告。

分数阶微分方程与整数阶微分方程相比较，能够准确地对事物进行刻画，处理问题更加细致.深层次的对分数阶微分方程进行研究具有更多的实践价值和研究意义.

1.2 分数阶微分方程边值问题的研究历程介绍

A.MAEI-Sayed在1988年对分数阶微分方程进行了研究，方程式如下：

当0≤t<s≤1,ξA(s)≥0，那么格林函数需要满足的性质如下：

一直以来总有一些人对闽商团队协作的事实视而不见，他们说福建人做生意的特点是“生意再小也要自己当老板”，因此“宁为鸡头，不为凤尾”，崇尚单打独斗，散兵游勇，各自为战，缺乏团队协作精神；认为闽人强悍拼搏的同时有一种独立的、不合作的性格，所以虽然闽商遍天下，但闽商多出“独行侠”，看上去闽商似乎是最不像“帮”的商帮；他们还说，因为闽商独立不合作，使得福建虽然抓住改革开放之机而先行一步但在产业升级和社会整体发展战略方面明显弱于广东和江浙；许多很有希望的产业，因为缺乏合作，而无法做大做强，这是福建大企业不多的根本原因，等等。

(1)

此方程解的唯一性进行求解，其中α∈(0，1)且有(t，x)是原先既定的函数.在A.MAEI-Sayed研究之后，此方程的唯一性解被普遍运用.在Shauder不动点定理的基础上，Yu C和Gao G在2005年证明了存在唯一性定理.

Bai Z与Lu H同样也在2005年对非线性分数阶微分方程的边值问题的正解存在性进行研究，方程式如下：

 

(2)

u(0)+u(1)=0

(3)

在这里，有1<α<2为实数,为标准型导数， f:(0,1)×[0,∞]→[0,∞]连续.将Green函数与不动点定理进行有机结合，从而可以得出分数阶微分方程具有的性质，即存在性与多重性特点.

格林函数G(t，s)需要满足的条件有：

 

(4)

在这里，Caputo的导数是对分数阶微分方程变化出的解，从而得到Leray-Schauder的非线性定理，从而得到方程式的解的存在性定理[2].

于瑶在2009年对非线性分数阶微分方程的边值问题解的唯一性进行研究，方程式如下：

 

(5)

u(0)=u(1)=u'(0)=0

(6)

除此之外，要先证明此方程解的存在性以及要否定多重性等特点，其中2<α<3是实数，Riemann-Liouville的分数阶微分是

Ding X在2012对非线性分数阶微分边值问题解的存在性和多重性进行研究和分析，研究的方程式如下：

10月19日，，该项目总投入为170亿元，计划于2020年建成投产，规划年产能30万辆。上汽大众新能源工厂占地面积40.56万m2，是大众汽车全球首个专门生产MEB平台纯电动车型工厂。新工厂将结合工业4.0的理念，采用最新的生产和自动化技术，大幅提升效率和劳动生产率。在自动化方面，新工厂将采用超过1 400多台工业机器人，其中车身车间拥有约1 000台机器人。

 

(7)

在这里，2<α<3是实数，Caputo分数阶的导数是是连续的函数，方程解的存在性是运用不动点定理获得的.

在研究的实际过程中，随着初始值的连续不断的变化，其边值问题的存在解的唯一性也是变化的，而解的研究难度也是由于奇异解的出现导致的，因此要降低研究解的难易程度就需要先将奇异性取消，通过对解的属性进行研究对奇异问题进行研究和分析.

2 分数阶微分方程边值问题的正解

在该章中，对Riemann-Stieltjes 积分边界条件的分数阶微分方程的边值问题进行研究.在将边值问题转变为积分方程的基础上，运用不动点定理求得边值问题的唯一正解，并提供对应的案例进行介绍[3].

2.1 分数阶微分方程的边值问题基础介绍

对Riemann-Stieltjes积分边界条件的分数阶微分方程边值问题进行研究，所涉及到的方程式如下：

信息技术的飞速发展让世界进入了信息时代，在信息时代，各项信息技术、多种信息设备进入学校，促进了现代教育理论与现代信息技术的有机结合，人们将这种结合称为现代教育技术[1]。在现代教育技术环境下，学生学习的平台将更广阔，获取知识的渠道也会更加多样化，教学模式将从传统的课堂授课方式转变为技术媒体教学，学生自主探索的时间将多于教师言传身教的时间，因此培养学生的学习能力，让学生在知识的海洋中自主扬帆远航至关重要。

(8)

方程式中，n-1<α≤n,n≥3,f:(0,1)×[0,+∞]→[0,+∞]和g:(0,1)×[0,∞]→[0,∞]是一个连续性质的区间，x关于A的Riemann-Stieltjes积分为有界变差函数为A：[0,1]且dA是可变号的.

现在学者们对非线性分数阶微分方程的研究较多，也取得了相应的研究成果，但是对于更高一层或者更深一层的研究较少，自然所取得的效果也就相对较少.Mao，Zhao与Xu在2010年对分数阶微分方程进行了详细的研究，方程式如下：

(9)

两位学者主要研究此方程式是否有解，且解是否唯一，方程式中dA是可变.Ahmad与Nieto在2013年对分数阶微分方程边值问题进行研究，他们运用的是不动点定理这个经典工具计算得出解的存在性[4].

2.2 分数阶微分方程的边值问题的研究内容

(H2)f(t,x,y):[0,1]×[0,+∞]×[0,+∞]→[0,+∞]是连续函数并且关于X递增，关于Y递减，那么常数γ∈(0,1)，则对任意的

 

(10)

 

(11)

对于给定的y∈C[0,1]，那么边值问题即有：

 

(12)

有一个唯一的解：

 

(13)

在这当中有：

 

(14)

就是边值问题(A)的格林函数.

Zhang S在Bai Z与Lu H对非线性分数阶微分方程研究的后一年，对非线性分数阶微分方程也进行了研究，只研究边值问题解的存在性，方程式如下：

ξA(s)≥0.

(1)对于任意 t,s∈[0,1]，有 G(t,s)>0.

张同波：面对激烈的市场竞争，企业必须拥有关键的核心技术，并不断地打造新的核心技术，始终保持领先一步的态势。为实现技术创新从一次创新向持续创新转变，单一产品创新向系列产品创新转变，个人创新向集体创新转变。新兴铸管着眼于建立自己的技术开发体系,坚持走“以企业为主体、以市场为导向、产学研相结合”之路,借助国内专家力量,共同攻克技术难关；建立以公司技术中心和研究院为主的技术开发、产品开发组织体系,保证产品结构调整的顺利进行。

(2)对于任意t,s∈[0,1]，都有

青岛福音堂旧址(今基督教堂)室内地面铺设红棕色的釉面地砖，尺寸152 mm×152 mm，模压图案为蔓叶，每4个1组拼合成一个完整圆形.图案内包含三叶草，比喻基督教的“三位一体”理论(图5).

(1-t)tαs(1-s)α-1≤F(α)G(t,s)≤(α-1)(1-t)tα-1

(15)

对于给定的 y∈L1[0,1]，其边值问题为：

 

(16)

有唯一的解，

 

(17)

且

(18)

其中H(t,s)是边值问题(5-3)的格林函数.

DαX=f(t，x)

如图3（f）所示，经过背景分割和目标跟踪后的图像仅仅只含有目标物体的图像信息，经过处理后的图像既保证了原有摄像机内部参数不变的情况下，又有效消除了背景和其他动态物体对估计虚拟相机移动轨迹的影响。

(1)对于任意t,s∈[0,1]，有H(t,s)>0.

(2)对于任意t，s∈[0,1]，有

 

(19)

假设f :[0,1]×[0,+∞]×[0,+∞]→[0,+∞]和g:(0,1)×[0,∞]×[0,+∞]→[0,∞]是一个连续的区间，那么边值问题(B)有唯一的解.

 

g(s,x(s))]ds

(20)

假设(H1)A是一个有界变差函数，同时对任意s∈[0,1]和A∈[0,1]，都有

One day，she sees a group of stingrays（黄 貂 鱼）swimming home.After that she recalls（回忆）some childhood（童年）memories（记忆）.She misses（想念）her family so much.So she starts to look for her family with Nemo and Marlin.

(21)

在研究前，需要进行前期工作，其中需要记录：

t∈[0,1]，x，y∈[0,+∞]都有

f (t,λx,λ-1y)≥λyf(t,x,y)

他曾希望远离尘嚣，机会来了，怎么反倒不安起来了呢？他打定主意随遇而安，开始打量起这间石屋。石壁上嵌着几盏油灯，永远那么燃着，既不变亮，也不变暗，也不摇动，仿佛是虚假的。

(22)

需要证明边值问题与下列积分方程是等价的，积分方程式为：

 

(23)

那么定义算子A与B如下所示：

 

(24)

 

(25)

这可以证明X是边值问题的解，并且X是算子方程X=A(x,y)+Bx的解，那么根据假设(H1)、(H2)得到A：PP→P1B:P→P,其证明如下：

假设A是一个混合的单调算子，而B是一个递增的次齐次算子.对于任意数值xi，yi∈pi,i=1,2,那么就可以继续假设x1≥x2,y1≥y2，就对任意的t∈[0,1]，即有x1(t)≥x2(t),y1(t)≥y2(t)，

根据假设和引理的内容可以推出：

 

(26)

那么就是A(x1,y1)(t)≥A(x2,y2)(t)

(27)

同时也可以得到 Bx1≥Bx2

对任意的λ∈(0,1)，x,y∈P及(H2)，得

 

(28)

即：对任意λ∈(0,1)， x,y∈P得

A(λx,λ-2y)≥λA(x,y)

(29)

因此算子A满足条件，同时，对于任意数值λ∈(0,1)，x∈P,由假设条件得知：

 

(30)

即：对任意λ∈(0,1)，x∈P，有

B(λx)≥λB(x)

(31)

因此算子B是次齐次的.

因此根据假设内容和定理，可以得出边值问题的正解是唯一存在的，并且可定义出迭代序列与正解无限接近，且当λ>u>0，有utα-1≤xα≤λtα-1，所获得的正解更准确.

但是，当当事人对人民法院处理结果不满向检察机关申请法律监督，检察机关提出检察建议后时，由哪个部门、哪些人员审核检察建议所涉事项的问题就会非常突出。因为基层人民法院的审判监督人员数量有限，往往不足以安排不同的人员对同一事项进行两次审查。此种情况下，唯一的可能就是将检察建议所涉事项提交审判委员会讨论决定，每星期两次甚至更多次数的审判委员会能够实现对法律监督所涉事项的及时审核，并且通过审判委员会讨论决定有关事项也助于体现法律监督的严肃性。不过，目前尚没有就将检察建议所涉事项提交审判委员会的程序规定，这就意味着法律监督案件进入审判委员会讨论决定的不确定性与救济滞后的可能性。

2.3 分数阶微分方程的边值问题的总结

对与积分边界条件的分数阶微分方程的正解唯一性进行证明，需要运用算子的不动点定理从而获得正确的唯一性，并通过迭代序列获得更加精准的值[5].但是，这个值只能够无线接近，而不能精确到这个数值，这也就说明分数阶微分方程的解仍然还有不确定性的特点.只能通过假设证明的方法和手段来说明研究的方向是正确的，这也充分说明对于分数阶微分方程的边值问题的研究还需要进一步研究和分析[6].

3 结论

该文主要对分数阶微分方程的边值问题求解应用进行分析，通过借鉴先前学者们的研究成果的基础上提出自己的论点和论述.分数阶微分方程的边值问题的求解进行研究有重要的实用价值，这对于获得更为准确的解具有主要的推动作用.在介绍分数阶微分方程的特点时，体现出边值问题的求解应用优势是其他方法所不能比拟的，通过对分数阶微分方程的历程进行介绍，表明学者们对其的研究起步较晚，所研究的内容还不够深刻.正因为如此该文通过在之前的研究成果上进行更深层次的研究，通过介绍和梳理论点和论据，最终也获得了在分数阶微分方程的正解是唯一解的结论.在该文研究的基础上，期望后期会有更多的学者将研究方向调整到微分方程上来，做出更多有效的研究成果，创造更多的实用价值.

参 考 文 献

[1] 苏新卫. 分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性[J]. 工程数学学报, 2009, 26(1):133-137.

[2] 王翠菁, 刘文斌, 张金陵. 非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性[J]. 河南科技大学学报:自然科学版, 2013, 34(1):85-88.

[3] 金京福. 分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性[D]. 上海理工大学, 2011.

[4] 苏新卫, 穆晓霞. 分数阶微分方程边值问题解的存在性[J]. 河南师范大学学报：自然版, 2008, 36(1):9-12.

[5] 靳威, 寇春海. 分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性[J]. 东华大学学报：自然科学版, 2013, 39(5):695-698.

[6] 刘洋, 巴哈尔古力, 胡卫敏. 一类分数阶微分方程边值问题三重正解的存在性[J]. 数学的实践与认识, 2013, 43(6):228-234.