参数伪线性规划最优解集的局部光滑表示*

0 引言

刻画最优解集结构是数学规划问题研究领域之一.Minkowski-Weyl定理[1,2]表明多面体凸集可表示为极点的凸组合与极方向的非负线性组合之和.利用此定理,有学者在文献[3,4]中证明了线性分式规划问题及伪线性规划问题的最优解集可表示为最优极点的凸组合与最优极方向的非负线性组合之和.

一般情况下,数学规划问题中的系数会随实际情况而发生变化,因此研究参数数学规划问题最优解集结构具有重要的实际意义.Luc在文献[5]中证明了光滑参数多面体具有局部表示定理.根据此定理,Luc在文献[5]中同时给出了光滑参数线性规划问题最优解集的局部表示形式. Fang在文献[6]中进一步推广至参数分段线性规划问题,给出了其最优解集的局部光滑表示形式.

受上述工作的启发,该文研究光滑参数伪线性规划问题,即目标函数为光滑参数伪线性函数,其约束条件是线性的规划问题.利用参数多面体的局部光滑表示定理及伪线性函数的性质证明参数伪线性规划问题最优解集具有局部光滑表示.

1 预备知识

定义1[3] 对于定义在非空开凸集D⊆Rn上的可微函数f (x),如果∀x,y∈D有f (y)<f (x)⟹ (x)T(y-x)<0, 则称f (x)是伪凸函数; 如果对于∀x,y∈D,f (y)>f (x)⟹

(x)T(y-x)>0,则称f (x)是伪凹函数.如果f (x)既是伪凸函数又是伪凹函数,则称f (x)为伪线性函数.

定义2[9] 假设f (x)是凸集C⊆Rn上的实值函数,则f (x)在C上是拟线性函数,如果

本试验采用QDA法对怪味胡豆进行感官评定，为怪味胡豆风味特征的评定提供一种较为科学有效的方法，期许为怪味的准确描述提供参考。

f (x2)}≤f (x1+(1-λ)x2)≤max[f (x1),

f (x2)].

定义3[9] 假设f (x)是C上的函数,则

f (x)在C上是半严格拟线性函数,如果∀x1,x2∈C,f (x1)≠f (x2),∀λ∈(0,1)有

min{f (x1),f (x2)}<f (x1+(1-λ)x2)f (x1),f (x2)}.

引理1[3] 令f (x)为定义在非空开凸集

D⊆Rn上的伪线性函数, x,y∈D,则有

⟺f (y)>f (x).

⟺f (y)<f (x).

⟺f (y)=f (x).

引理2[9] 假设f (x)是D上的可微函数,如果f (x)在D上是伪线性函数,则f (x)在D上是拟线性函数.

引理3[9] 假设f (x)是D上的可微函数,如果f (x)在D上是伪线性函数,则f (x)在D上是半严格拟线性函数.

考虑以下伪线性规划问题:

2种类型土壤分别设置3个不同的外源压力(T1,T2,T3分别为0，10，20 kg)处理,设4个重复,由于需要进行3次生育期破坏性取样,每个类型土壤条件下设置盆栽48个．各处理土壤过2 mm筛后,加入肥料混匀,使得供试土壤氮、磷、钾养分含量相同,分别为每kg风干土中含N 200 mg,P2O5 120 mg,K2O 250 mg．肥料为尿素(N质量分数为46%)、硫酸钾(分析纯,K2O质量分数为52%)、磷酸钙(分析纯,P2O5质量分数为12%),均一次基施．

∀x1,x2∈C,∀λ∈[0,1],min{f (x1),

其中f (x)为定义在D上的伪线性函数,A∈Rm×n ,b∈Rm.

记问题(P)的可行域为L,最优解集为S. 假设S≠∅,不难证明S是凸集.由文献[7-8]可知,此时问题(P)必有一个最优极点.同时文献[3]证明了下面两个重要结论.

引理4[3] 令v*∈S,如果存在L的极方向d使得则对于任意v∈S均有

 

∀i∈I,μj≥0,∀j∈J}.

 

∀i∈{1,2,…,p},μj≥0,

∀j∈{1,2,…,q}}.

参数伪线性规划问题定义如下:

在舒适性方面，激光电视的图像获取来自激光电视屏幕反射自激光电视主机的光线，屏幕无电磁辐射、健康、舒适。因激光发生器产生的光线更聚拢，同时激光电视一般标配的特制型电视面板，既能够保证观看亮度，也有抗环境光的特点。激光电视色彩更鲜明、亮度较高，其色域表现能力超越LCD电视，带来更鲜明、高还原度的色彩表现能力。

其中f(x,ω)是Cr(Ω,Rn)上的伪线性函数,A(ω)∈Cr(Ω,Rm×n),b(ω)∈Cr(Ω,Rm),且Ω是有限维空间中的一个开子集.

记P(ω)的可行域为L(ω),边际函数φ(ω):=max{f (x,ω):x∈L(ω)},解集映射S(ω):={x∈L(ω):f (x,ω)=φ(ω)}.

由引理4令∀i∈P(ω)},∀ω∈V2.显然,

引理5[5] 对于任意开集U⊆Ω,存在一个开子集U0⊆U使得下列两个条件之一成立,

(1)L(ω)=∅,∀ω∈U0.

(2)存在L(ω)的极点{vi(ω)|i∈I}和L(ω)的极方向{dj(ω)|j∈J}∈Cr(Ω,Rn),其中I,J均为有限指标集,使得

性质1[3] 对于问题(P),令S≠∅,则x∈S当且仅当x表示为L的最优极点凸组合与L的最优极方向非负线性组合之和,即

在此次回顾研究中，我们还针对评估分类出的高低风险组患者进行了生存分析。结果表明高转移风险的患者总体生存明显低于低风险的患者。因此，治疗前精确评估是决定治疗成功与否的关键因素。在临床工作中，可依据此模型进行高低风险分类评估，以达到更加合理的选择治疗策略，更加精准的评估病人的病情。本研究的风险评估模型可应用于临床，并随着临床检验技术的发展，模型可得到进一步完善。

对任意ω∈U0均成立.

2 主要结论

定理 假设S(ω)≠∅,对于任意的ω∈V,基中V为Ω的开子集，则在开子集V0⊆V上存在{vi(ω):i∈P},{dj(ω):j∈Q}∈Cr(V0,Rn).其中P⊆I,Q⊆J,使得

令P(ω):={i∈I:f (vi(ω),ω)=φ(ω)},∀ω∈V1,由题可知, P(ω)≠∅.根据P(ω)的定义有f (vi(ω),ω)<φ(ω),∀i∈IP(ω).

f(vi(ω),ω)=φ(ω),∀i∈P,

∀j∈Q,∀i∈P,

对于任意的ω∈V0均成立,且φ(ω)∈Cr(V0,Rn).

证明 由题意可知, L(ω)≠∅,根据引理5可知,存在开集V1⊆V上的{vi(ω)|i∈I},{dj(ω)|j∈J}∈Cr(V1,Rn),使得

1．材料：4～5周龄的Balb/c小鼠20只，体重15～16 g，购自上海斯莱克实验动物有限责任公司。 人胰腺癌细胞株(cystic fibrosis pancreatic duct adenocarcinoma-1，CFPAC-1)由苏州大学附属第一医院血液研究所馈赠。MET粉购于美国Sigma-Aldrich公司；GEM购于日本TCI公司。兔抗人caspase3一抗购自Abcam公司，兔抗人Bcl-xl、survivin、Bax一抗和鼠抗人β-actin一抗以及羊抗兔、羊抗鼠二抗均购自碧云天生物技术有限公司。

∀i∈I,μj≥0,∀j∈J}.

∀i∈P,μj≥0,∀j∈Q},

令使得下证对于领域中的任意ω均成立.由于f (x,ω)为光滑函数,且vi(ω)∈Cr(V1,Rn),则存在一个的充分小邻域V2,使得对于任意的ω∈V2都有

f (vi(ω),ω)>f (vi′(ω),ω),∀∀

根据φ(ω)的定义可知,

φ(ω)≥f (vi(ω),ω),∀

因此,

φ(ω)>f (vi′(ω),ω),∀

由上可得P(ω)⊆根据定义可知,∀ω∈V2.

光是创造宇宙万物立体感中不可或缺的因素，有了光，人类的眼睛才能看到万物的形与色。在有限的空间内进行拍摄，不同的光线会对拍摄物体产生不同形状大小和柔硬的视觉感，因此，光又起到了塑造整体作品氛围和传达情感的作用。在室内拍摄可以使用“复灯打光法”；在室外拍摄可以注意直射光和散射光的应用，通过对光影的控制来调整影像与光影之间的关系和变化，产生与人体共鸣的美感。

主控机主要由主控制器、无线接收模块组成。主控制器主要负责向采集机发送命令，接收数据，并实现监控、分析数据、发出警报等，并可通过串口或USB与PC机配接。

这个队伍必须做到管理和服务相统一，将工作做到老教师、老专家心里去。华中科技大学水电学院在1:1帮扶计划下，重点落实党政联席会成员1对1 帮扶老党员、志愿者1对1帮扶孤寡独居高龄老教工，制作了老同志随身意外联系卡，党委亲自抓老同志疑难杂症寻医问药工作，将关工委工作的关键人——老同志抓在手上，心疼他们，了解他们，也利于同步做好以下工作：

令使证对于开领域中的任意ω成立.由上可知,对于任意的ω∈V2,φ(ω)连续且dj(ω)∈Cr(V1,Rn),则存在一个 的充分小邻域V0⊆V2,使得对于任意的ω∈V0都有,

∀∀∀

又因为⊆V2, 由上述证明可知, 因此,

∀j′∈JQ(ω),∀i∈P(ω),∀ω∈V2.

∀∀i∈P(ω),

所以Q(ω)⊆由定义可知,

∀ω∈V0.

综上所述,令对于任意的ω∈V0,都有

f (vi(ω),ω)=φ(ω),∀i∈P,

∀j∈Q,∀i∈P,

同时可得, φ(ω)在V0上为光滑函数.

下证

∀i∈P,μj≥0,∀j∈Q},∀ω∈V0.

令ω∈V0.

活动当天，赖艺还和现场领导嘉宾一起为蚌埠百大名品中心九周年店庆进行了庆生，送上生日祝福。最后，赖艺不忘来到天王表专柜前签名留影，对天王表品牌专柜进行现场体验和品鉴。

其中

∀i∈P,μj≥0,∀j∈Q.

苏州园区的用地在规划时意图明确，在宏观上形成了具有主题的区域，如独墅湖高教区和金鸡湖商业区等，这种做法一方面将资源集中，另一方面也造成了城市层面的资源分配不合理的局面。基于TND的理论，可以通过在各个区域内的5min步行圈中设置具有一定容积率且功能丰富的“活力点”，最大程度地吸引人到各“活力点”中活动，并在“活力点”之间产生流动，以提高城市活力。

定义

λi:=0,∀i∈IP,μj:=0,∀j∈JQ,

王某某在网上看到快递已被程瀚签收后，便打电话过去要钱，谁知被程瀚态度强硬地拒绝。坐过牢的李某某觉得情况不对劲，便让王某某赶紧丢掉手机，自己也逃往千里之外的内蒙古鄂尔多斯。

则

 

∀i∈I,μj≥0,∀j∈J,

因此,h(ω)∈L(ω).下证h(ω)∈S(ω).

首先证明

 

当|P|=1时, f (v1)=φ(ω).

当|P|=2时,f (λ1v1+λ2v2)=f (λ1v1+(1-λ1)v2),由引理2有

φ(ω)=min{f (v1),f (v2)}≤f (λ1v1+λ2v2)≤max{f (v1),f(v2)}=φ(ω).

假设|P|=n时,

 

则|P|=n+1时,

 

因此,

 

 

由数学归纳法可得,

 

由于

 

)Tdj(ω)=0,

2、水利水电工程，主要是为了防洪抗灾，因此需要其具备较为稳定的压力、较强的耐磨抗烈性，还要同时具备防渗、抗冲、防高温和低温等特点。因此要严格遵从工程建设技术标准来施工，以保障工程质量。

根据引理1可知

 

因此,h(ω)∈S(ω),∀ω∈V0.

反之,令∀ω∈V0,g(ω)∈S(ω),则

g(ω)∈L(ω),存在{λ1:i∈I} ,{μj(ω):j∈J}∈Cr(V0,Rn) ,使得

 

∀i∈I,μj≥0,∀j∈J.

秀容月明想：“桂花酒是桂州特产，天下闻名，我怕喝酒误事，一次也没喝过。城要破了，我也要死了，桂花酒倒不妨尝一尝。”

下证

 

首先证明

 

反证法,若存在j'∈JQ,μj'>0,使得那么

 

 

 

 

则有

 

与g(ω)∈S(ω)矛盾.因此,

 

此时

 

则有

 

所以

 

若存在i'∈IP,λi'>0,使得f (vi')<φ(ω),由引理3可得

 

 

f (vi'(ω),ω)}=φ(ω),

矛盾.因此,

 

从而定理得证.

参 考 文 献

[1] Bazaraa M S, Jarvis J J, Sherali H D. Linear Programming and Network Flows, 2nd ed[M]. New York: John Wiley & Sons, 1979.

[2] Bazaraa M S, Sherali H D, Shetty C M. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms [M]. New York: John Wiley & Sons, 1979.

[3] Xue S J. Multiple optimal solutions to a sort of nonlinear optimization problem [J]. J Syst Eng Electron, 2007(18):63-67.

[4] Xue S J. Determining the optimal solution set for linear fractional programming [J]. Syst Eng Electron,2002(13):40-45.

[5] Luc D T. Smooth representation of a parametric polyhedral convex set with application to sensitivity in optimization [J]. Proc Amer Math Soc, 1997(125):555-567.

[6] Fang Y P, Huang N J,Yang X Q. Local smooth representations of parametric semiclosed polyhedra with applications to sensitivity in piecewise linear programs[J]. Optim Theory Appl, 2012(155):810-839.

[7] Wei Q L, Yan H. Generalized Optimization Theory and Methods [M]. Beijing Science Publish Press, 2003.

[8] Xue S J, Shen S Y. Eleven kinds of convexity [J]. Chinese J Oper Res, 1989(1):72-75.

[9] 杨新民,戎卫东. 广义凸性及其应用[M]. 北京:科学出版社,2016.